자연계열 (오전) 1번

문제 1-1두 조건 $\displaystyle p,q$의 진리집합을 각각 $\displaystyle P,Q$라 하면 $\displaystyle \sim q$가 $\displaystyle p$이기 위한 충분조건이므로 진리집합의 포함 관계는 $\displaystyle Q^C\subset P$이다.조건 $\displaystyle p$에서 $\displaystyle |x-1|\le5,\ -4\le x\le6$이므로 $\displaystyle P=\{x\mid-4\le x\le6\}$이다.조건 $\displaystyle q$에서 $\displaystyle (x+2)(x-a)>0$이므로 $\displaystyle Q^C=\{x\mid(x+2)(x-a)\le0\}$$\displaystyle (x+2)(x-a)\le0$에서(ⅰ) $\displaystyle a<-2$일 때$\displaystyle a\le x\le-2$이므로$\displaystyle -4\le a<-2$

(ⅱ) $\displaystyle a\ge-2$일 때$\displaystyle -2\le x\le a$이므로$\displaystyle -2\le a\le6$

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle -4\le a\le6$이므로 정수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6$이고 모든 정수 $\displaystyle a$의 합은 $\displaystyle 11$이다.

문제 1-2(1) 조건 (가)에서 $\displaystyle f(4)=4-a=3$이므로 $\displaystyle a=1$ ⋯⋯㉠$\displaystyle x\ge3$에서 $\displaystyle f(x)=x-a=x-1$이다.$\displaystyle x<3$에서$\displaystyle f(x)=\frac{bx+2a-3b+2}{x-1}=\frac{bx-3b+4}{x-1}=b+\frac{-2b+4}{x-1}$의 점근선의 방정식은 $\displaystyle x=1,y=b$이다. 조건 (나)에서 $\displaystyle y=f(x)$의 치역이 $\displaystyle y<-1$이므로 $\displaystyle b=-1$ ⋯⋯㉡㉠,㉡에 의하여$\displaystyle f(x)=\begin{cases}-1+\frac6{x-1}&(x<3)\\x-1&(x\ge3)\end{cases}$$\displaystyle f(-2)=-1+\frac6{-2-1}=-3,f(5)=5-1=4$이므로 $\displaystyle f(-2)+f(5)=1$이다.

(2) $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) $\displaystyle k>2$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=k$가 두 점에서 만나므로$\displaystyle \lim_{k\to2+}g(k)=2$ ⋯⋯㉢(ⅱ) $\displaystyle k<-1$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=k$가 한 점에서 만나므로$\displaystyle \lim_{k\to b-}g(k)=\lim_{k\to-1-}g(k)=1$ ⋯⋯㉣㉢,㉣에 의하여$\displaystyle \lim_{k\to2+}g(k)+\lim_{k\to b-}g(k)=\lim_{k\to2+}g(k)+\lim_{k\to-1-}g(k)=2+1=3$

문제 1-3함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 이차함수이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=ax^2+bx+c$($\displaystyle a>0,a,b,c$는 상수)라 하자.조건 (가)에서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(2-x)$이므로$\displaystyle ax^2+bx+c=a(2-x)^2+b(2-x)+c$즉, $\displaystyle (4a+2b)x-(4a+2b)=0$에서 $\displaystyle b=-2a$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=ax^2-2ax+c$조건 (나)에서 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이므로 $\displaystyle c=0$이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=a(x^2-2x)$조건 (다)에서 함수 $\displaystyle y=f^{\prime}(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\displaystyle 4$이므로

$\displaystyle 4=-\int_0^2a(x^2-2x)\,dx=-a\Biggl[\frac13x^3-x^2\Biggr]_0^2=-a\left(\frac83-4\right)=\frac43a,\ a=3$$\displaystyle f^{\prime}(x)=3(x^2-2x)=3x^2-6x$이므로$\displaystyle f(x)=\int f^{\prime}(x)\,dx=\int(3x^2-6x)\,dx=x^3-3x^2+C$ (단, $\displaystyle C$는 적분 상수)이고 조건 (나)에 의해 $\displaystyle f(0)=2$이므로 $\displaystyle C=2$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^5f(k)&=\sum_{k=1}^5(k^3-3k^2+2)\\&=\sum_{k=1}^5k^3-3\sum_{k=1}^5k^2+\sum_{k=1}^52\\&=\left(\frac{5\times6}2\right)^2-3\times\left(\frac{5\times6\times11}6\right)+2\times5\\&=225-165+10=70\end{aligned}$