자연계열 (오전) 3번

문제 3-1(1) 함수 $\displaystyle f(x)=(x-1)^3+b$가 닫힌 구간 $\displaystyle [1,a]$에서 증가하고 함수 $\displaystyle f(x)$가 일대일대응이므로 (제시문1)에 의하여 $\displaystyle f(1)=1$이고 $\displaystyle f(a)=a$이다. $\displaystyle f(1)=1$에서 $\displaystyle b=1$이고,$\displaystyle f(a)=a$에서 $\displaystyle (a-1)^3+1=a,\ a(a-1)(a-2)=0,\ a=0,1,2$이때 $\displaystyle a>1$이므로 $\displaystyle a=2$이다.따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f(x)=(x-1)^3+1\ (1\le x\le2)$이다.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)=(x-1)^3+1$이 닫힌 구간 $\displaystyle [1,2]$에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle (1,2)$에서 미분가능하므로 (제시문3) 평균값 정리에 의하여$\displaystyle \frac{f(2)-f(1)}{2-1}=f^{\prime}(c),\ \frac{2-1}{2-1}=3c^2-6c+3$$\displaystyle c=\frac{3-\sqrt3}3$ 또는 $\displaystyle c=\frac{3+\sqrt3}3$$\displaystyle 1<c<2$이므로 $\displaystyle c=\frac{3+\sqrt3}3$이다.

문제 3-2(1) (문제3-1)에서 구한 $\displaystyle a,b$를 대입하면 $\displaystyle g(x)=(x-1)^3+1\ (1\le x\le2)$이다.조건 (나)에서 $\displaystyle x=2$이면 $\displaystyle g(2)=g(1)+2p$이므로 $\displaystyle 2=1+2p$에서 $\displaystyle p=\frac12$이다.

(2) 함수 $\displaystyle g(x)=(x-1)^3+1\ (1\le x\le2)$는 조건 (나)에서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)=g(x-1)+1$을 만족시키므로 $\displaystyle 2\le x\le3$에서 $\displaystyle g(x)$의 그래프는 $\displaystyle g(x)=(x-1)^3+1\ (1\le x\le2)$의 그래프를 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle 1$만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle 1$만큼 평행이동한 것이다. 즉, $\displaystyle g(x)=(x-2)^2+2\ (2\le x\le3)$Correction. $\displaystyle g(x)=(x-2)^2+2$의 지수 $\displaystyle 2$는 $\displaystyle 3$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.함수 $\displaystyle g(x)=(x-1)^3+1\ (1\le x\le2)$는 조건 (나)에서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)=g(x+1)-1$을 만족시키므로 $\displaystyle 0\le x\le1$에서 $\displaystyle g(x)$의 그래프는 $\displaystyle g(x)=(x-1)^3+1\ (1\le x\le2)$의 그래프를 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle -1$만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle -1$만큼 평행이동한 것이다. 즉, $\displaystyle g(x)=x^3\ (0\le x\le1)$함수 $\displaystyle g(x)=x^3\ (0\le x\le1)$는 조건 (나)에서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)=g(x+1)-1$을 만족시키므로 $\displaystyle -1\le x\le0$에서 $\displaystyle g(x)$의 그래프는 $\displaystyle g(x)=x^3\ (0\le x\le1)$의 그래프를 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle -1$만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle -1$만큼 평행이동한 것이다. 즉, $\displaystyle g(x)=(x+1)^3-1\ (-1\le x\le0)$

(3) $\displaystyle \int_{-1}^3u(x)\,dx=\int_{-1}^0u(x)\,dx+\int_0^3u(x)\,dx$두 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle y=u(x)$는 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이므로(ⅰ) $\displaystyle \begin{aligned}\int_{-1}^0u(x)\,dx&=-\int_{-1}^0\{g(x)-(-1)\}\,dx=-\int_{-1}^0\{(x+1)^3-1+1\}\,dx\\&=-\int_{-1}^0(x^3+3x^2+3x+1)\,dx\\&=-\Biggl[\frac{x^4}4+x^3+\frac32x^2+x\Biggr]_{-1}^0=-\frac14\end{aligned}$(ⅱ) $\displaystyle \int_0^3u(x)\,dx=3\times3-\int_0^3g(x)\,dx=9-\left(1+2+3\int_0^1x^3\,dx\right)=6-3\int_0^1x^3\,dx=\frac{21}4$따라서 (ⅰ),(ⅱ)에 의하여$\displaystyle \int_{-1}^3u(x)\,dx=\int_{-1}^0u(x)\,dx+\int_0^3u(x)\,dx=-\frac14+\frac{21}4=5$

문제 3-3(1) 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 닫힌 구간 $\displaystyle [n,n+1]$에서 함수 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle g(x)=(x-n)^3+n$이므로$\displaystyle G(n)=\int_n^{n+1}g(x)\,dx=\int_n^{n+1}\{(x-n)^3+n\}\,dx=n+\int_0^1x^3\,dx=n+\frac14$$\displaystyle G(n)=n+\frac14$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{10}\frac{45}{G(n)G(n+1)}&=\sum_{n=1}^{10}\frac{45}{\left(n+\frac14\right)\left(n+\frac54\right)}\\&=45\sum_{n=1}^{10}\frac{16}{(4n+1)(4n+5)}=180\sum_{n=1}^{10}\left(\frac1{4n+1}-\frac1{4n+5}\right)\\&=180\left\{\left(\frac15-\frac19\right)+\left(\frac19-\frac1{13}\right)+\left(\frac1{13}-\frac1{17}\right)+\cdots+\left(\frac1{41}-\frac1{45}\right)\right\}\\&=180\left(\frac15-\frac1{45}\right)=32\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\frac{45}{G(n)G(n+1)}=32$

(2) (Ⅰ) 함수 $\displaystyle h(x)$를 $\displaystyle h(x)=\frac52x^3-1$라 하면 두 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프는 다음과 같다. 두 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle y=h(x)$는 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 만나므로$\displaystyle x^3=\frac52x^3-1,\ x^3=\frac23,\ x=\sqrt[3]{\frac23}$따라서 $\displaystyle H(x)$는 $\displaystyle x=d\left(d\ne\sqrt[3]{\frac23}\right)$에서 불연속이므로 $\displaystyle d\in\left\{x\mid x\ne\sqrt[3]{\frac23}\text{인 실수}\right\}$이다.

(Ⅱ) 함수 $\displaystyle |H(x)|$가 $\displaystyle x=d$에서 연속이 되려면 (제시문2)에 의하여$\displaystyle |H(d)|=\lim_{x\to d-}|H(x)|=\lim_{x\to d+}|H(x)|,\ |g(d)|=|h(d)|$(ⅰ) $\displaystyle g(d)=h(d)$일 때(Ⅰ)에 의하여 함수 $\displaystyle |H(x)|$는 $\displaystyle x=\sqrt[3]{\frac23}$에서 연속이다.(ⅱ) $\displaystyle g(d)=-h(d)$일 때함수 $\displaystyle g(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이고 증가한다. 그리고 함수 $\displaystyle y=-h(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이고 감소한다.$\displaystyle g(0)=0,-h(0)=1,g(1)=1,-h(1)=-\frac32$이므로 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 함수 $\displaystyle g(x)=x^3$의 그래프와 곡선 $\displaystyle y=-h(x)$가 만난다.$\displaystyle d^3=-\left(\frac52d^3-1\right),d^3=\frac27$. (제시문4)에 의하여 $\displaystyle d=\sqrt[3]{\frac27}$(ⅰ),(ⅱ)에 의하여 함수 $\displaystyle |H(x)|$는 $\displaystyle d=\sqrt[3]{\frac23}$와 $\displaystyle d=\sqrt[3]{\frac27}$일 때만 연속이 된다.따라서 (Ⅰ),(Ⅱ)에 의하여 함수 $\displaystyle H(x)$가 $\displaystyle x=d$에서 불연속이고, 함수$\displaystyle |H(x)|$가 연속이 되는 $\displaystyle d$의 값은 $\displaystyle d=\sqrt[3]{\frac27}$이다.