자연계열 (오후) 2번

문제 2-1(1) 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle F_n(x)=\int_0^xf_n(t)\,dt$이고 조건 (가)에서 $\displaystyle f_1(x)=1$이므로$\displaystyle F_1(x)=\int_0^xf_1(t)\,dt=\int_0^x1\,dt=x$조건 (나)에서 $\displaystyle \int_0^xf_n(t)\,dt=x^{2n-1}\int_0^xf_{n-1}(t)\,dt$는 $\displaystyle F_n(x)=x^{2n-1}F_{n-1}(x)$ (단, $\displaystyle n\ge2$인 자연수)이므로$\displaystyle \begin{aligned}F_n(x)&=x^{2n-1}F_{n-1}(x)\\&=x^{2n-1}\times x^{2n-3}F_{n-2}(x)\\&=x^{2n-1}\times x^{2n-3}\times x^{2n-5}F_{n-3}(x)\\&\qquad\vdots\\&=x^{2n-1}\times x^{2n-3}\times x^{2n-5}\times\cdots\times x^3F_1(x)\\&=x^{n^2-1}\times F_1(x)\end{aligned}$이때 $\displaystyle F_1(x)=x$이므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle F_n(x)=x^{n^2}$

(2) $\displaystyle F_n(x)=\int_0^xf_n(t)\,dt$에서 $\displaystyle F_n^{\prime}(x)=f_n(x)$이므로 $\displaystyle f_n(x)=n^2x^{n^2-1}$이고 $\displaystyle f_n^{\prime}(x)=n^2(n^2-1)x^{n^2-2}$이다.따라서 $\displaystyle f_n(1)=n^2,\ f_n^{\prime}(1)=n^2(n^2-1)$$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=2}^{10}\log_2\frac{\{f_n(1)\}^2}{f_n^{\prime}(1)}&=\sum_{n=2}^{10}\log_2\frac{(n^2)^2}{n^2(n^2-1)}\\&=\sum_{n=2}^{10}\log_2\frac{n^2}{n^2-1}\\&=\sum_{n=2}^{10}\log_2\frac{n^2}{(n-1)(n+1)}\\&=\log_2\frac{2^2}{1\times3}+\log_2\frac{3^2}{2\times4}+\cdots+\log_2\frac{10^2}{9\times11}\\&=\log_2\left(\frac{2\times2}{1\times3}\times\frac{3\times3}{2\times4}\times\frac{4\times4}{3\times5}\times\cdots\times\frac{10\times10}{9\times11}\right)\\&=\log_2\frac{20}{11}\end{aligned}$

문제 2-2(1) 부등식 $\displaystyle x+y+z\le m$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle x,y,z$의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$는 $\displaystyle x+y+z$의 값에 따라 각 경우로 나누면 다음과 같다.(ⅰ) $\displaystyle x+y+z=0$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle x,y,z$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$는 $\displaystyle (0,0,0)$이므로 $\displaystyle 1$개(ⅱ) $\displaystyle x+y+z=1$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle x,y,z$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수는 서로 다른 $\displaystyle 3$개에서 $\displaystyle 1$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_3\mathrm{H}_1={}_{3+1-1}\mathrm{C}_1={}_3\mathrm{C}_1$(ⅲ) $\displaystyle x+y+z=2$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle x,y,z$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수는 서로 다른 $\displaystyle 3$개에서 $\displaystyle 2$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_3\mathrm{H}_2={}_{3+2-1}\mathrm{C}_2={}_4\mathrm{C}_2$(ⅳ) $\displaystyle x+y+z=3$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle x,y,z$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수는 서로 다른 $\displaystyle 3$개에서 $\displaystyle 3$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_3\mathrm{H}_3={}_{3+3-1}\mathrm{C}_3={}_5\mathrm{C}_3$⋮같은 방법으로 $\displaystyle x+y+z=m$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle x,y,z$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수는 서로 다른 $\displaystyle 3$개에서 $\displaystyle m$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_3\mathrm{H}_m={}_{3+m-1}\mathrm{C}_m={}_{m+2}\mathrm{C}_m$

그러므로 부등식 $\displaystyle x+y+z\le m$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle x,y,z$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수 $\displaystyle N(m)$은$\displaystyle \begin{aligned}N(m)&=1+{}_3\mathrm{C}_1+{}_4\mathrm{C}_2+{}_5\mathrm{C}_3+\cdots+{}_{m+2}\mathrm{C}_m\\&={}_3\mathrm{C}_0+{}_3\mathrm{C}_1+{}_4\mathrm{C}_2+{}_5\mathrm{C}_3+\cdots+{}_{m+2}\mathrm{C}_m\\&={}_4\mathrm{C}_1+{}_4\mathrm{C}_2+{}_5\mathrm{C}_3+\cdots+{}_{m+2}\mathrm{C}_m\\&={}_5\mathrm{C}_2+{}_5\mathrm{C}_3+\cdots+{}_{m+2}\mathrm{C}_m\\&\qquad\vdots\\&={}_{m+2}\mathrm{C}_{m-1}+{}_{m+2}\mathrm{C}_m\\&={}_{m+3}\mathrm{C}_m={}_{m+3}\mathrm{C}_3\end{aligned}$

(2) 문제(1)에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{m=0}^{16}N(m)&=\sum_{m=0}^{16}{}_{m+3}\mathrm{C}_3\\&={}_3\mathrm{C}_3+{}_4\mathrm{C}_3+{}_5\mathrm{C}_3+\cdots+{}_{19}\mathrm{C}_3\\&={}_4\mathrm{C}_4+{}_4\mathrm{C}_3+{}_5\mathrm{C}_3+\cdots+{}_{19}\mathrm{C}_3\\&={}_5\mathrm{C}_4+{}_5\mathrm{C}_3+\cdots+{}_{19}\mathrm{C}_3\\&={}_6\mathrm{C}_4+\cdots+{}_{19}\mathrm{C}_3\\&\qquad\vdots\\&={}_{19}\mathrm{C}_4+{}_{19}\mathrm{C}_3\\&={}_{20}\mathrm{C}_4\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \sum_{m=0}^{16}N(m)={}_{20}\mathrm{C}_k={}_{20}\mathrm{C}_4={}_{20}\mathrm{C}_{16}$이므로 $\displaystyle k=4$ 또는 $\displaystyle k=16$이다.

문제 2-3상자 $\displaystyle B$에는 숫자 $\displaystyle 1,2,3$이 적힌 카드의 개수가 각각 $\displaystyle a$개, $\displaystyle b$개, $\displaystyle c$개 들어있으므로$\displaystyle a+b+c=6\quad(a\ge0,\ b\ge0,\ c\ge0)$ ⋯⋯㉠창의가 이길 확률이 $\displaystyle p$이므로 실천이가 점수를 얻지 못할 확률이 $\displaystyle p$이고 실천이가 이기기 위해서는 두 학생이 꺼낸 카드에 적힌 두 수가 서로 같아야 하므로 확률변수 $\displaystyle Y$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle E(Y)=(0\times p)+(\frac a6\times\frac16)+2(\frac b6\times\frac26)+3(\frac c6\times\frac36)=\frac{a+4b+9c}{36}=\frac{13}{18}$이므로$\displaystyle a+4b+9c=26$ ⋯⋯㉡음이 아닌 정수 $\displaystyle a,b,c$는 ㉠, ㉡을 만족하므로 $\displaystyle a=1,b=4,c=1$이다. 따라서 창의가 이길 확률은$\displaystyle p=1-\{(\frac16\times\frac16)+(\frac46\times\frac26)+(\frac16\times\frac36)\}=1-\frac13=\frac23$창의가 이기기 위해서는 두 학생이 꺼낸 카드에 적힌 두 수가 달라야 하므로 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서$\displaystyle E(X)=(0\times\frac13)+(\frac16\times\frac56)+2(\frac26\times\frac26)+3(\frac36\times\frac56)=\frac{29}{18}$$\displaystyle \begin{aligned}V(X)&=E(X^2)-\{E(X)\}^2\\&=(0\times\frac13)+(\frac16\times\frac56)+4(\frac26\times\frac26)+9(\frac36\times\frac56)-(\frac{29}{18})^2\\&=\frac{563}{18^2}=\frac{563}{324}\end{aligned}$$\displaystyle V(18X+5)=18^2V(X)=18^2\times\frac{563}{18^2}=563$이므로$\displaystyle 6p+V(18X+5)=4+563=567$