자연계열 (오후) 3번

문제 3-1$\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (2,f(2))$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(2)=f^{\prime}(2)(x-2)$이다.조건 (가)에서 $\displaystyle \frac1x=t$로 놓으면 $\displaystyle x\to0+$일 때, $\displaystyle t\to\infty$이므로$\displaystyle \lim_{x\to0+}\{x^2f(\frac1x)-4\}=\lim_{t\to\infty}\{\frac{f(t)}{t^2}-4\}=0$에서 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}{t^2}=4$이다. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^2}=4$이므로 $\displaystyle f(x)$는 이차항의 계수가 $\displaystyle 4$인 이차함수이다. ⋯⋯㉠조건 (나)에서 (제시문1)을 이용하면 $\displaystyle \lim_{x\to1}(x-1)=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=f(1)=0$ ⋯⋯㉡㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle f(x)=4(x-1)(x-k)$ ($\displaystyle k$는 상수)라 하면$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{4(x-1)(x-k)}{x-1}=\lim_{x\to1}4(x-k)=4(1-k)=12$에서 $\displaystyle k=-2$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=4(x-1)(x+2)=4(x^2+x-2)$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=8x+4$이다.$\displaystyle f(2)=16,f^{\prime}(2)=20$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (2,16)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=20(x-2)+16,\ y=20x-24$

문제 3-2최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수를 $\displaystyle g(x)=x^3+ax^2+bx+c$ (단, $\displaystyle a,b,c$는 상수)라 하면 $\displaystyle g(0)=0$에서 $\displaystyle c=0$이므로 $\displaystyle g(x)=x^3+ax^2+bx$이고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b$이다. 조건 (나)에서$\displaystyle \frac{g(-1)-g(1)}{-1-1}=g^{\prime}(-1)$$\displaystyle \frac{-1+a-b-(1+a+b)}{-2}=3-2a+b,\ 1+b=3-2a+b$이므로 $\displaystyle a=1$.조건 (다)에서 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle y=k$가 두 점에서 만나는 $\displaystyle k$의 최댓값이 $\displaystyle g(\frac{-1-\sqrt7}3)$이므로 그림과 같이 직선 $\displaystyle y=k$는 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 극대가 되는 점을 지나야 한다.

실수 $\displaystyle k$의 최댓값이 $\displaystyle g(\frac{-1-\sqrt7}3)$이므로 방정식 $\displaystyle g(x)=g(\frac{-1-\sqrt7}3)$의 서로 다른 두 실근을 $\displaystyle \alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$라 하면 $\displaystyle g(\alpha)=g(\beta)=g(\frac{-1-\sqrt7}3)$이다.

따라서 $\displaystyle \frac{-1-\sqrt7}3$은 $\displaystyle \alpha$ 또는 $\displaystyle \beta$이다. 한편 $\displaystyle g(x)$는 최고차항의 계수가 양수이므로 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$에서 극댓값을 갖는다. 이때$\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2+2x+b=3(x+\frac13)^2+b-\frac13$이므로 $\displaystyle \alpha<-\frac13<\beta$이다. 즉$\displaystyle \alpha=\frac{-1-\sqrt7}3,\ g^{\prime}(\frac{-1-\sqrt7}3)=0$$\displaystyle g^{\prime}(\frac{-1-\sqrt7}3)=3\times(-\frac{\sqrt7}3)^2+b-\frac13=0$에서 $\displaystyle b=-2$. 따라서 $\displaystyle g(x)=x^3+x^2-2x$

문제 3-3(1) 함수 $\displaystyle h(x)$는$\displaystyle h(x)=\frac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}2=\begin{cases}g(x)&(f(x)\ge g(x))\\f(x)&(f(x)<g(x))\end{cases}$(문제 3-1)과 (문제 3-2)에서$\displaystyle f(x)=4(x^2+x-2)=4(x-1)(x+2),\quad g(x)=x^3+x^2-2x=x(x-1)(x+2)$이므로$\displaystyle \begin{aligned}f(x)-g(x)&=4(x-1)(x+2)-x(x-1)(x+2)\\&=-(x-1)(x+2)(x-4)\end{aligned}$방정식 $\displaystyle f(x)-g(x)=0$의 근은 $\displaystyle x=-2$ 또는 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=4$이다. 따라서$\displaystyle h(x)=\begin{cases}x^3+x^2-2x&(x<-2)\\4(x^2+x-2)&(-2\le x<1)\\x^3+x^2-2x&(1\le x<4)\\4(x^2+x-2)&(x\ge4)\end{cases}$

(2) (제시문 2)에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac3nh(2+\frac{3k}n)=\int_2^5h(x)\,dx$이다.$\displaystyle h(x)=\begin{cases}x^3+x^2-2x&(x<-2)\\4(x^2+x-2)&(-2\le x<1)\\x^3+x^2-2x&(1\le x<4)\\4(x^2+x-2)&(x\ge4)\end{cases}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac3nh(2+\frac{3k}n)&=\int_2^5h(x)\,dx\\&=\int_2^4g(x)\,dx+\int_4^5f(x)\,dx\\&=\int_2^4(x^3+x^2-2x)\,dx+\int_4^54(x^2+x-2)\,dx\\&=\Biggl[\frac14x^4+\frac13x^3-x^2\Biggr]_2^4+4\Biggl[\frac13x^3+\frac12x^2-2x\Biggr]_4^5\\&=48+\frac{56}3+4(\frac{61}3+\frac52)=158\end{aligned}$

(3) 함수 $\displaystyle h(x)$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(x)$는$\displaystyle h(x)=\begin{cases}x^3+x^2-2x&(x<-2)\\4(x^2+x-2)&(-2\le x<1)\\x^3+x^2-2x&(1\le x<4)\\4(x^2+x-2)&(x\ge4)\end{cases},\quad h^{\prime}(x)=\begin{cases}3x^2+2x-2&(x<-2)\\8x+4&(-2<x<1)\\3x^2+2x-2&(1<x<4)\\8x+4&(x>4)\end{cases}$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=p$에서의 미분가능에 대하여 살펴보면 다음과 같다.(Ⅰ) 함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=p$에서 미분가능 할 때에는$\displaystyle \lim_{x\to p+}\frac{h(x)-h(p)}{x-p}=\lim_{x\to p-}\frac{h(x)-h(p)}{x-p}=\lim_{x\to p}\frac{h(x)-h(p)}{x-p}=h^{\prime}(p)$이고 주어진 조건에 의해서 $\displaystyle 4h^{\prime}(p)=h^{\prime}(p)$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(p)=0$이다. 함수 $\displaystyle h(x)$는 구간 $\displaystyle (-\infty,-2)$ 또는 $\displaystyle (1,\infty)$에서 증가하므로 $\displaystyle h^{\prime}(p)=0$를 만족하는 $\displaystyle p$는 존재하지 않는다. $\displaystyle -2<x<1$에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)=8x+4$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(p)=0$에서 $\displaystyle h^{\prime}(p)=8p+4=0,\ p=-\frac12$.

(Ⅱ) 함수 $\displaystyle h(x)$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(x)$가$\displaystyle h^{\prime}(x)=\begin{cases}3x^2+2x-2&(x<-2)\\8x+4&(-2<x<1)\\3x^2+2x-2&(1<x<4)\\8x+4&(x>4)\end{cases}$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=p$에서 미분가능하지 않을 가능성이 있는 부분은 $\displaystyle p=-2$ 또는 $\displaystyle p=1$ 또는 $\displaystyle p=4$일 때이다. 각각의 경우를 살펴보면 다음과 같다.(ⅰ) $\displaystyle p=-2$일 때$\displaystyle 4\times\lim_{x\to-2+}\frac{h(x)-h(-2)}{x+2}=4\times\lim_{x\to-2+}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}=-48$$\displaystyle \lim_{x\to-2-}\frac{h(x)-h(-2)}{x+2}=\lim_{x\to-2-}\frac{g(x)-g(-2)}{x+2}=6$이므로 문제의 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) $\displaystyle p=4$일 때$\displaystyle 4\times\lim_{x\to4+}\frac{h(x)-h(4)}{x-4}=4\times\lim_{x\to4+}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=144$$\displaystyle \lim_{x\to4-}\frac{h(x)-h(4)}{x-4}=\lim_{x\to4-}\frac{g(x)-g(4)}{x-4}=54$이므로 문제의 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅲ) $\displaystyle p=1$일 때$\displaystyle 4\times\lim_{x\to1+}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}=4\times\lim_{x\to1+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=12$$\displaystyle \lim_{x\to1-}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}=\lim_{x\to1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=12$이므로 $\displaystyle p=1$일 때 문제의 조건을 만족시킨다.따라서 $\displaystyle p=1,-\frac12$