자연계열 (오후) 1번

문제 1-1$\displaystyle p$가 $\displaystyle q$이기 위한 필요조건이라 가정하자. 그러면 $\displaystyle q\Rightarrow p$이고 대우는 $\displaystyle \sim p\Rightarrow\sim q$이다. 두 조건 $\displaystyle p,q$의 진리집합을 각각 $\displaystyle P,Q$라 하면 진리집합 $\displaystyle P,Q$의 포함관계는 $\displaystyle P^C\subset Q^C$이다.$\displaystyle P^C=\{x\mid x^2-2x-3=0\}=\{-1,3\},\ Q^C=\{x\mid ax-2a\le3x-4\}$이므로(ⅰ) $\displaystyle -1\in Q^C$일 때, $\displaystyle -a-2a\le-3-4,\ -3a\le-7,\ a\ge\frac73$(ⅱ) $\displaystyle 3\in Q^C$일 때, $\displaystyle 3a-2a\le5,\ a\le5$(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle \frac73\le a\le5$따라서 구하는 정수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 3,4,5$이므로 $\displaystyle 3+4+5=12$

문제 1-2(1) 곡선 $\displaystyle y=x^2-nx$와 직선 $\displaystyle y=x+n-\frac14$이 만나는 서로 다른 두 점 $\displaystyle A_n,B_n$의 $\displaystyle x$좌표를 각각 $\displaystyle \alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$라 하면 $\displaystyle A_n(\alpha,\alpha+n-\frac14),\ B_n(\beta,\beta+n-\frac14)$이므로 선분 $\displaystyle A_nB_n$의 길이는$\displaystyle \sqrt{(\beta-\alpha)^2+\{(\beta+n-\frac14)-(\alpha+n-\frac14)\}^2}=\sqrt{(\beta-\alpha)^2+(\beta-\alpha)^2}=\sqrt{2(\beta-\alpha)^2}$이다. $\displaystyle \alpha,\beta$는 곡선과 직선이 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표이므로 $\displaystyle x^2-nx=x+n-\frac14,\ x^2-(n+1)x+\frac14-n=0$의 두 실근이고, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서 $\displaystyle \alpha+\beta=n+1,\ \alpha\beta=\frac14-n$이다.$\displaystyle (\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(n+1)^2-4(\frac14-n)=n^2+6n$이므로$\displaystyle \overline{A_nB_n}=\sqrt{2(\beta-\alpha)^2}=\sqrt{2(n^2+6n)}$따라서 선분 $\displaystyle A_nB_n$을 지름으로 하는 원의 넓이 $\displaystyle T_n$은$\displaystyle T_n=\left(\frac{\overline{A_nB_n}}2\right)^2\pi=\frac{n^2+6n}2\pi$

제시문에서 $\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n\pi a_k$이므로 등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 첫째항부터 제$\displaystyle n$항까지의 합을 $\displaystyle S_n$이라 하면 $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^na_k=\frac{n^2+6n}2$이다. $\displaystyle a_1=S_1=\frac72$이고 $\displaystyle S_2=\frac{16}2$이므로 $\displaystyle a_2=S_2-S_1=\frac92$이다.따라서 공차 $\displaystyle d=a_2-a_1=1$이고 $\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d=n+\frac52$

(2) $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_na_{n+1}}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(n+\frac52)(n+\frac72)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac4{(2n+5)(2n+7)}\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac42\left(\frac1{2k+5}-\frac1{2k+7}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}2\left\{\left(\frac17-\frac19\right)+\left(\frac19-\frac1{11}\right)+\left(\frac1{11}-\frac1{13}\right)+\cdots+\left(\frac1{2n+5}-\frac1{2n+7}\right)\right\}\\&=\lim_{n\to\infty}2\left(\frac17-\frac1{2n+7}\right)=\frac27\end{aligned}$

문제 1-3(1) 그림과 같이 실수 $\displaystyle t\ (0<t<n)$에 대하여$\displaystyle P(t,\sqrt{n-t}),\ Q(-t,\sqrt{n-t}),\ R(-t,-2\sqrt{n-t}),\ S(t,-2\sqrt{n-t})$이다. 직사각형 $\displaystyle PQRS$의 넓이는 $\displaystyle \overline{PQ}\times\overline{PS}=2t\times3\sqrt{n-t}$이므로 $\displaystyle S_n(t)=6t\sqrt{n-t}$이다.

(2) $\displaystyle S_n(t)=6t\sqrt{n-t}=6\sqrt{nt^2-t^3}$에서 $\displaystyle T(t)=nt^2-t^3=t^2(n-t)$라 하면 $\displaystyle 0<t<n$일 때 $\displaystyle T(t)>0$이므로 $\displaystyle T(t)$가 최대일 때 $\displaystyle S_n(t)$도 최대이다.$\displaystyle T^{\prime}(t)=2nt-3t^2=t(2n-3t)=0$을 만족시키는 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle t=0$ 또는 $\displaystyle t=\frac23n$이므로 함수 $\displaystyle T(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle T(t)=nt^2-t^3$은 $\displaystyle t=\frac23n$에서 극대이면서 최대이므로 $\displaystyle S_n(t)$는 $\displaystyle t=\frac23n$에서 최댓값 $\displaystyle S_n(\frac23n)=6\sqrt{T(\frac23n)}=6\sqrt{\frac4{27}n^3}$을 갖는다. 즉$\displaystyle f(n)=\frac23n,\ g(n)=6\sqrt{\frac4{27}n^3}$따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\{g(n)\}^2}{\{f(n)\}^3+n^3+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{36\times\frac4{27}n^3}{\frac8{27}n^3+n^3+1}=\frac{144}{35}$