자연계열 (오전) 2번

문제 2-1$\displaystyle -x^2+4x=x$에서 $\displaystyle x=3$이므로 점 $\displaystyle A$의 좌표는 $\displaystyle (3,3)$이다.점 $\displaystyle P_k$($\displaystyle k=1,2,3,\cdots,n-1$)에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle R_k$라 하면 $\displaystyle R_k\left(\frac{3k}n,0\right)$이므로 $\displaystyle P_k\left(\frac{3k}n,\frac{3k}n\right)$, $\displaystyle Q_k\left(\frac{3k}n,-\left(\frac{3k}n\right)^2+4\left(\frac{3k}n\right)\right)$이다.삼각형 $\displaystyle OP_kQ_k$의 넓이 $\displaystyle S_k$는$\displaystyle \begin{aligned}S_k&=\frac12\times\overline{P_kQ_k}\times\overline{OR_k}\\&=\frac12\left\{-\left(\frac{3k}n\right)^2+4\left(\frac{3k}n\right)-\frac{3k}n\right\}\times\frac{3k}n\\&=\frac12\left\{-\left(\frac{3k}n\right)^2+3\left(\frac{3k}n\right)\right\}\frac{3k}n\\&=\frac12\left\{-\left(\frac{3k}n\right)^3+3\left(\frac{3k}n\right)^2\right\}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}S_k&=\frac12\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\left\{-\left(\frac{3k}n\right)^3+3\left(\frac{3k}n\right)^2\right\}\frac1n\\&=\frac12\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{-\left(\frac{3k}n\right)^3+3\left(\frac{3k}n\right)^2\right\}\frac1n\\&=\frac12\times\frac13\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{-\left(\frac{3k}n\right)^3+3\left(\frac{3k}n\right)^2\right\}\frac3n\\&=\frac16\int_0^3(-x^3+3x^2)\,dx\\&=\frac16\Biggl[-\frac14x^4+x^3\Biggr]_0^3=\frac98\end{aligned}$

문제 2-2(1) $\displaystyle 6$이상의 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 방정식 $\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_6=k$을 만족시키는 자연수 $\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_6$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x_1,x_2,\cdots,x_6)$의 개수는 음이 아닌 정수 $\displaystyle x_1^{\prime},x_2^{\prime},\cdots,x_6^{\prime}$에 대하여 $\displaystyle x_1=1+x_1^{\prime},x_2=1+x_2^{\prime},\cdots,x_6=1+x_6^{\prime}$라 하고 $\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_6=k$에 대입하면 $\displaystyle x_1^{\prime}+x_2^{\prime}+\cdots+x_6^{\prime}=k-6$이므로 방정식 $\displaystyle x_1^{\prime}+x_2^{\prime}+\cdots+x_6^{\prime}=k-6$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle x_1^{\prime},x_2^{\prime},\cdots,x_6^{\prime}$의 모든 순서쌍 $\displaystyle (x_1^{\prime},x_2^{\prime},\cdots,x_6^{\prime})$의 개수와 같다.따라서 $\displaystyle N(k)$는 서로 다른 $\displaystyle 6$개에서 중복을 허락하여 $\displaystyle (k-6)$개를 택하는 중복조합의 수 $\displaystyle {}_6\mathrm H_{k-6}$이다. 그러므로 $\displaystyle N(k)={}_6\mathrm H_{k-6}={}_{k-1}\mathrm C_5$

(2) $\displaystyle N(k)={}_6\mathrm H_{k-6}={}_{k-1}\mathrm C_{k-6}={}_{k-1}\mathrm C_5$이므로$\displaystyle N(6)={}_6\mathrm H_0={}_5\mathrm C_0={}_5\mathrm C_5,\ N(7)={}_6\mathrm H_1={}_6\mathrm C_1={}_6\mathrm C_5,$$\displaystyle N(8)={}_6\mathrm H_2={}_7\mathrm C_2={}_7\mathrm C_5,\cdots,\ N(20)={}_6\mathrm H_{14}={}_{19}\mathrm C_{14}={}_{19}\mathrm C_5$$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=6}^{20}N(k)&=N(6)+N(7)+N(8)+\cdots+N(20)\\&={}_5\mathrm C_0+{}_6\mathrm C_1+{}_7\mathrm C_2+\cdots+{}_{19}\mathrm C_{14}\\&={}_6\mathrm C_0+{}_6\mathrm C_1+{}_7\mathrm C_2+\cdots+{}_{19}\mathrm C_{14}\\&={}_7\mathrm C_1+{}_7\mathrm C_2+{}_8\mathrm C_3+\cdots+{}_{19}\mathrm C_{14}\quad\text{(제시문 (가)에 의하여)}\\&={}_8\mathrm C_2+{}_8\mathrm C_3+\cdots+{}_{19}\mathrm C_{14}\\&\quad\vdots\\&={}_{19}\mathrm C_{13}+{}_{19}\mathrm C_{14}\\&={}_{20}\mathrm C_{14}={}_{20}\mathrm C_6\end{aligned}$$\displaystyle {}_{20}\mathrm C_{14}={}_{20}\mathrm C_6$이므로 $\displaystyle r=14$ 또는 $\displaystyle r=6$이다.

문제 2-3(1) $\displaystyle 6$의 약수는 $\displaystyle 1,2,3,6$이므로 한 개의 주사위를 던져서 $\displaystyle 6$의 약수의 눈이 나올 확률은 $\displaystyle \frac46=\frac23$이고, $\displaystyle 6$의 약수의 눈이 나오지 않을 확률은 $\displaystyle 1-\frac23=\frac13$이다. 한 개의 주사위를 $\displaystyle n$번 던지는 시행에서 $\displaystyle (n-1)$번째까지 $\displaystyle 6$의 약수의 눈이 나오지 않고 $\displaystyle n$번째 처음으로 $\displaystyle 6$의 약수의 눈이 나와야 하므로 $\displaystyle P_n=\left(\frac23\right)\left(\frac13\right)^{n-1}$이다.

(2) $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n\frac{3(2k+3)}{2k(k+1)}P_k&=\sum_{k=1}^n\left\{\frac{3(2k+3)}{2k(k+1)}\times\frac23\left(\frac13\right)^{k-1}\right\}\\&=\sum_{k=1}^n\left\{\frac{2k+3}{k(k+1)}\left(\frac13\right)^{k-1}\right\}\\&=\sum_{k=1}^n\left[\left\{\frac{2k}{k(k+1)}+\frac3{k(k+1)}\right\}\left(\frac13\right)^{k-1}\right]\\&=\sum_{k=1}^n\left[\left\{\frac2{k+1}+3\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\right\}\left(\frac13\right)^{k-1}\right]\quad\text{(제시문 (가)에 의하여)}\\&=\sum_{k=1}^n\left(\frac3k-\frac1{k+1}\right)\left(\frac13\right)^{k-1}\\&=\sum_{k=1}^n\left\{\frac1{k\times3^{k-2}}-\frac1{(k+1)\times3^{k-1}}\right\}\\&=\left(3-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac1{3\times3}\right)+\left(\frac1{3\times3}-\frac1{4\times3^2}\right)+\cdots+\left\{\frac1{n\times3^{n-2}}-\frac1{(n+1)\times3^{n-1}}\right\}\\&=3-\frac1{(n+1)\times3^{n-1}}\end{aligned}$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{3(2n+3)}{2n(n+1)}P_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{3(2k+3)}{2k(k+1)}P_k=\lim_{n\to\infty}\left\{3-\frac1{(n+1)\times3^{n-1}}\right\}=3$