자연계열 A 1번

점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표를 $\displaystyle (b,-b)$라 하자$\displaystyle (-1<b<0)$. 선분 $\displaystyle \mathrm{\mathrm{AB}}$의 길이가 $\displaystyle \sqrt2$이므로

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^{2} = ( 2 \sin t - b )^{2} + ( - b )^{2} = 2 b^{2} - 4 ( \sin t ) b + 4 ( \sin t )^{2} = 2$이다.

이차방정식 $\displaystyle b^2-2(\sin t)b+2\sin^2t-1=0$으로부터

$\displaystyle b = \sin t ± \sqrt{\sin^{2} t - ( 2 \sin^{2} t - 1 )} = \sin t ± \cos t$를 얻는다.

$\displaystyle b$의 범위가 $\displaystyle - 1 < b < 0$이므로 위의 둘 중에서 $\displaystyle b = \sin t - \cos t$가 실제 해이다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle ( \sin t - \cos t , - \sin t + \cos t )$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표를 $\displaystyle ( x , y )$라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{C}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 내분점임을 이용하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \begin{cases}x = r ( \sin t - \cos t ) + ( 1 - r ) ( 2 \sin t ) = ( 2 - r ) \sin t - r \cos t \\ y = r ( - \sin t + \cos t ) + ( 1 - r ) \times 0 = - r \sin t + r \cos t\end{cases}$

이를 시간에 대해 미분해서 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 속도의 $\displaystyle x , y$성분을 얻는다.

$\displaystyle \begin{cases}v_{x} = \frac{{d x}}{d t} = ( 2 - r ) \cos t + r \sin t \\ v_{y} = \frac{{d y}}{d t} = - r \cos t - r \sin t\end{cases}$

따라서 속력의 제곱은$\displaystyle v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} = ( ( 2 - r )^{2} + r^{2} ) \cos^{2} t + 2 ( r ( 2 - r ) + r^{2} ) \sin t \cos t + ( r^{2} + r^{2} ) \sin^{2} t$이다. 이를 간단히 정리하면$\displaystyle \begin{aligned}v^{2} &= ( 4 - 4 r + 2 r^{2} ) \cos^{2} t + 2 r^{2} \sin^{2} t + 4 r \sin t \cos t\\&= 2 r^{2} + 4 \cos t ( \sin t - \cos t ) r + 4 \cos^{2} t\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle v = \sqrt{2 r^{2} + 4 \cos t ( \sin t - \cos t ) r + 4 \cos^{2} t}$이다.

속력 $\displaystyle v$는 음이 아니므로, $\displaystyle v^{2}$이 최소일 때 $\displaystyle v$ 역시 최소가 된다.

앞의 문항에서 구한 $\displaystyle v^{2}$은 $\displaystyle r$의 이차함수이다. 따라서 이차함수가 나타내는 포물선의 꼭짓점에서 $\displaystyle v^{2}$은 최소가 된다.

이차함수의 꼭짓점의 위치 $\displaystyle r$는 $\displaystyle \frac{{d v^{2}}}{d r} = 4 r + 4 \cos t ( \sin t - \cos t ) = 0$을 풀어서 얻을 수 있다.

$\displaystyle r = \cos t ( \cos t - \sin t )$

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 밑변의 길이는 $\displaystyle 2 \sin t$이고 높이는 $\displaystyle - b = \cos t - \sin t$이다.

따라서 삼각형의 넓이는 $\displaystyle S = \frac{{1}}{2} \times ( 2 \sin t ) \times ( \cos t - \sin t ) = \sin t ( \cos t - \sin t )$이다.

넓이가 최대가 되는 시각을 구하기 위하여 $\displaystyle \frac{{d S}}{d t} = 0$을 만족하는 시각 $\displaystyle t$를 구하자.$\displaystyle \begin{aligned}\frac{{d S}}{d t} &= \cos t ( \cos t - \sin t ) + \sin t ( - \sin t - \cos t )\\&= \cos^{2} t - \sin^{2} t - 2 \sin t \cos t = \cos 2 t - \sin 2 t\end{aligned}$

코사인 함수와 사인 함수의 값이 같은 각도는 $\displaystyle n \pi + \frac{{\pi}}{4} ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , \cdots )$이다.

따라서 $\displaystyle 2 t = n \pi + \frac{{\pi}}{4}$이어야 하고, $\displaystyle 0 < t < \frac{{\pi}}{4}$구간의 시각은 $\displaystyle t = \frac{{\pi}}{8}$이다.

이 시각에서 최대인지 혹은 최소인지를 확인하기 위하여 이계도함수를 계산한다.

$\displaystyle \left.\frac{d^2S}{dt^2}\right|_{t=\pi/8}=-\left.2(\sin2t+\cos2t)\right|_{t=\pi/8}=-2\sqrt2<0$

그러므로 삼각형의 면적은 $\displaystyle t = \frac{{\pi}}{8}$에서 최대가 된다.