자연계열 A 2번

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이 되므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 2$이고 $\displaystyle \angle \mathrm{ABC} = \frac{{\pi}}{3}$이다.

이때, 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$와 $\displaystyle x$축의 음의 방향이 이루는 각은 $\displaystyle \theta + \frac{{\pi}}{3}$이다.

정육각형의 중심 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표를 $\displaystyle ( x , y )$라 하면, 사인, 코사인의 정의에 의해$\displaystyle x = 1 - 2 \cos ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) , y = 2 \sin ( \theta + \frac{{\pi}}{3} )$

그러므로 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$은 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle x = 1 - 2 \cos ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) , y = 2 \sin ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) ( 0 \leq \theta \leq \frac{{\pi}}{3} )$

위 (a) 에서 $\displaystyle x_{1} = 1 - 2 \cos ( \theta + \frac{{\pi}}{3} )$이다.

선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 연장선과 정육각형이 만나는 점을 $\displaystyle D$라 하면, $\displaystyle \overline{BD} = 4$이다. 그러므로 $\displaystyle x$축과 나란한 직선 $\displaystyle y = k$가 정육각형과 만나는 경우의 $\displaystyle k$의 최댓값은 점 $\displaystyle D$의 $\displaystyle y$좌표와 같다.

사인의 정의에 의해 $\displaystyle y_{1} = 4 \sin ( \theta + \frac{{\pi}}{3} )$.

그러므로 곡선 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle x_{1} = 1 - 2 \cos ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) , y_{1} = 4 \sin ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) ( 0 \leq \theta \leq \frac{{\pi}}{3} )$

(a)에서 $\displaystyle \cos ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) = \frac{{1 - x}}{2} , \sin ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) = \frac{{y}}{2}$이다. 한편$\displaystyle 1 = \cos^{2} ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) + \sin^{2} ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) = ( \frac{{1 - x}}{2} )^{2} + ( \frac{{y}}{2} )^{2}$

이때, $\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{{\pi}}{3}$이므로 $\displaystyle 0 \leq x \leq 2 , \sqrt{3} \leq y \leq 2$을 만족한다. 그러므로 곡선 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$은 영역 $\displaystyle 0 \leq x \leq 2 , \sqrt{3} \leq y \leq 2$안에 있는 원 $\displaystyle ( x - 1 )^{2} + y^{2} = 4$의 부분이다. 즉,$\displaystyle y = \sqrt{4 - ( x - 1 )^{2}} ( 0 \leq x \leq 2 )$이다.

(b)에서 점 $\displaystyle ( x_{1} , y_{1} )$은 $\displaystyle 1 = \cos^{2} ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) + \sin^{2} ( \theta + \frac{{\pi}}{3} ) = ( \frac{{1 - x_{1}}}{2} )^{2} + ( \frac{{y_{1}}}{4} )^{2}$을 만족한다. 또한, $\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{{\pi}}{3}$이므로 $\displaystyle 0 \leq x_{1} \leq 2 , 2 \sqrt{3} \leq y_{1} \leq 4$를 만족한다. 그러므로 곡선 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}$는 타원 $\displaystyle ( \frac{{x - 1}}{2} )^{2} + ( \frac{{y}}{4} )^{2} = 1$ 중 영역 $\displaystyle 0 \leq x \leq 2 , 2 \sqrt{3} \leq y \leq 4$에 속하는 부분이다. 즉, $\displaystyle y = 2 \sqrt{4 - ( x - 1 )^{2}} ( 0 \leq x \leq 2 )$이다.

그러므로 주어진 영역의 넓이 $\displaystyle S$는 영역 $\displaystyle 0 \leq x \leq 2$중에서 타원의 일부인 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}$와 원의 일부인 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}$사이의 넓이가 된다. 즉,$\displaystyle S = \int_{0}^{2} {( 2 \sqrt{4 - ( x - 1 )^{2}}} - \sqrt{4 - ( x - 1 )^{2}} ) d x = \int_{0}^{2} {\sqrt{4 - ( x - 1 )^{2}}} d x$

여기서 $\displaystyle x - 1 = 2 \sin \omega ( - \frac{{\pi}}{6} \leq \omega \leq \frac{{\pi}}{6} )$로 치환하면,$\displaystyle \begin{aligned}S &= \int_{- \frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{6}} {\sqrt{4 - 4 \sin^{2} \omega}} 2 \cos \omega d w = \int_{- \frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{6}} {4 \cos^{2}} \omega d w = \int_{- \frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{6}} {4 ( \frac{{1 + \cos 2 \omega}}{2} ) d \omega}\\&= 2 \int_{- \frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{6}} {( 1 + \cos 2 \omega ) d w = 2 \Biggl[ w + \frac{{\sin 2 w}}{2} \Biggr]_{- \frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{6}}} = \frac{{2 \pi}}{3} + \sqrt{3}\end{aligned}$

그러므로 구하는 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3} + \sqrt{3}$이다.