자연계열 A 3번

자유투를 한번 던진다면, 연달아 성공할 수 없으므로,$\displaystyle p_{1} = 1$

자유투를 두 번 던질 때, 연달아 성공할 확률은 $\displaystyle \frac{{2}}{3} \times \frac{{2}}{3} = \frac{{4}}{9}$이므로, 연달아 성공하지 못할 확률은$\displaystyle p_{2} = 1 - \frac{{4}}{9} = \frac{{5}}{9}$

자유투를 세 번 이상 던지는 경우, 즉 $\displaystyle n \geq 3$인 경우에, $\displaystyle p_{n}$에 관한 점화식을 구해보자. 첫 번째 시도에서 실패하는 경우와 성공하는 경우로 나누어 생각해 보자. 첫 번째 시도에서 실패한다면, 나머지, $\displaystyle n - 1$번의 시도에서 연달아 성공하지 않는 경우에 전체의 $\displaystyle n$번의 시도에서 연달아 성공하지 않게 된다. 만약, 첫 번째 시도에서 성공한다면, 두 번째 시도에서 실패하고, 나머지, $\displaystyle n - 2$번의 시도에서 연달아 성공하지 않는 경우에 전체 $\displaystyle n$번의 시도에서 연달아 성공하지 않게 된다. 따라서 다음과 같은 $\displaystyle p_{n}$에 관한 점화식을 얻는다.$\displaystyle p_{n} = \frac{{1}}{3} p_{n - 1} + \frac{{2}}{9} p_{n - 2} , n = 3 , 4 , 5 , \ldots$

문제에 주어진 $\displaystyle p_{n}$이 초기조건 $\displaystyle p_{1} = 1 , p_{2} = \frac{{5}}{9}$를 만족하고, 위 점화식을 만족함을 보이자.

문제에 주어진 $\displaystyle p_{n}$에 $\displaystyle n = 1 , 2$를 대입해보자.

$\displaystyle p_{1} = ( - \frac{{1}}{3} )^{2} + 2 ( \frac{{2}}{3} )^{2} = \frac{{1}}{9} + \frac{{8}}{9} = 1$

$\displaystyle p_{2} = ( - \frac{{1}}{3} )^{3} + 2 ( \frac{{2}}{3} )^{3} = - \frac{{1}}{27} + \frac{{16}}{27} = \frac{{5}}{9}$

문제에 주어진 $\displaystyle p_{n}$이 초기 조건을 만족함을 확인할 수 있다.

이제, 문제에 주어진 $\displaystyle p_{n} ( n = 1 , 2 , \ldots )$이 위의 점화식을 만족하는지 확인해 보자. 위의 점화식의 우변에 문제에 주어진 $\displaystyle p_{n - 1}$과 $\displaystyle p_{n - 2}$를 대입하면,$\displaystyle \begin{aligned}\frac{{1}}{3} p_{n - 1} + \frac{{2}}{9} p_{n - 2} &= \frac{{1}}{3} \left[ ( - \frac{{1}}{3} )^{n} + 2 ( \frac{{2}}{3} )^{n} \right] + \frac{{2}}{9} \left[ ( - \frac{{1}}{3} )^{n - 1} + 2 ( \frac{{2}}{3} )^{n - 1} \right]\\&= ( - \frac{{1}}{3} )^{n - 1} \left[ \frac{{1}}{3} ( - \frac{{1}}{3} ) + \frac{{2}}{9} \right] + 2 ( \frac{{2}}{3} )^{n - 1} \left[ \frac{{1}}{3} ( \frac{{2}}{3} ) + \frac{{2}}{9} \right]\\&= ( - \frac{{1}}{3} )^{n + 1} + 2 ( \frac{{2}}{3} )^{n + 1}\end{aligned}$

따라서 문제에 주어진 $\displaystyle p_{n}$는 위의 점화식을 만족한다.

조건부 확률 $\displaystyle \mathrm P ( B | A )$는 다음의 식을 만족한다.$\displaystyle \mathrm P ( B | A ) = \frac{{\mathrm P ( A \cap B )}}{\mathrm P ( A )}$

$\displaystyle \mathrm P ( A )$는 문제 (a)에 주어져 있으므로, 이 문제를 풀기 위해서는 $\displaystyle \mathrm P ( A \cap B )$를 구하면 된다.

사건 $\displaystyle A \cap B$는 $\displaystyle n$번의 시도에서 연달아 성공하지도 연달아 실패하지도 않아야 하므로, 성공과 실패가 번갈아 가며 일어나야 한다. 이러한 경우는 첫 번째 시도에서 성공한 경우와 실패한 경우로 나누어 생각할 수 있다. $\displaystyle n$이 짝수라면, 전자와 후자의 사건이 발생할 확률은 $\displaystyle ( \frac{{1}}{3} )^{\frac{{n}}{2}} ( \frac{{2}}{3} )^{\frac{{n}}{2}}$로 서로 같다. $\displaystyle n$이 홀수라면, 전자와 후자의 사건의 발생할 확률은 각각 $\displaystyle ( \frac{{1}}{3} )^{\frac{{n - 1}}{2}} ( \frac{{2}}{3} )^{\frac{{n + 1}}{2}} , ( \frac{{1}}{3} )^{\frac{{n + 1}}{2}} ( \frac{{2}}{3} )^{\frac{{n - 1}}{2}}$이다. 따라서

$\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\begin{cases}2\left(\frac13\right)^{n/2}\left(\frac23\right)^{n/2},& (n\text{은 짝수})\\\left(\frac13\right)^{(n-1)/2}\left(\frac23\right)^{(n+1)/2}+\left(\frac13\right)^{(n+1)/2}\left(\frac23\right)^{(n-1)/2},&(n\text{은 홀수})\end{cases}$

위 식으로부터, 다음을 얻는다.

$\displaystyle \mathrm P(B\mid A)=\begin{cases}\dfrac{2\left(\frac13\right)^{n/2}\left(\frac23\right)^{n/2}}{\left(-\frac13\right)^{n+1}+2\left(\frac23\right)^{n+1}},&(n\text{은 짝수})\\\dfrac{\left(\frac13\right)^{(n-1)/2}\left(\frac23\right)^{(n+1)/2}+\left(\frac13\right)^{(n+1)/2}\left(\frac23\right)^{(n-1)/2}}{\left(-\frac13\right)^{n+1}+2\left(\frac23\right)^{n+1}},&(n\text{은 홀수})\end{cases}$

사건 $\displaystyle A \cap C$는 $\displaystyle n$번의 시도 중 $\displaystyle k$번 성공하였으나, 한 번도 연달아 성공하지 못한 사건이다. 이러한 사건이 일어나는 경우의 수는 연속한 성공이 없도록 각각의 $\displaystyle k$번의 성공 사이에 실패한 횟수를 정하는 방법의 수와 같다. 이 방법의 수를 얻기 위해, 다음처럼, $\displaystyle x_{1} , x_{2} , \ldots x_{k + 1}$을 정의하자. 첫 번째 성공 이전에 일어난 실패의 횟수를 $\displaystyle x_{1}$이라 놓고, 첫 번째 성공 이후 두 번째 실패 이전에 발생한 실패의 횟수를 $\displaystyle x_{2}$, 같은 방법으로, $\displaystyle i = 3 , 4 , \cdots k$에 대해, $\displaystyle i - 1$번째 성공 이후 $\displaystyle i$번째 성공 이전에 발생한 실패의 횟수를 $\displaystyle x_{i}$라 하자. 또한 $\displaystyle k$번째 성공 이후에 발생한 실패의 횟수를 $\displaystyle x_{k + 1}$이라 하자. 총 실패한 횟수는 $\displaystyle n - k$이므로 $\displaystyle x_{i}$들은 다음의 식을 만족한다.Correction. $\displaystyle x_2$를 정의한 문장에서 ‘두 번째 실패 이전’은 ‘두 번째 성공 이전’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{k + 1} = n - k$

위 식에서, $\displaystyle x_{1} \geq 0 , x_{k + 1} \geq 0$이며, $\displaystyle i = 2 , 3 , \cdots , k$에 대해, 연달은 성공이 없다는 조건으로부터 $\displaystyle x_{i} \geq 1$이다. 위 식의 해의 개수가 사건 $\displaystyle A \cap C$가 발생하는 경우의 수이다. 위 식의 해의 개수를 얻기 위해 $\displaystyle x_{i}$들을 다음처럼 치환하자.$\displaystyle \begin{aligned}y_{i} &= x_{i} , i = 1 , k + 1 \\ y_{i} &= x_{i} - 1 , i = 2 , 3 , \ldots , k .\end{aligned}$

위 치환을 통해 다음의 식을 얻는다.$\displaystyle y_1+y_2+\ldots+y_{k+1}=n-2k+1,$

$\displaystyle y_i\ge0,\ i=1,2,\ldots,k+1.$

위 식의 해의 개수는 $\displaystyle k + 1$개의 원소로 이루어진 집합에서 중복을 허락하여 $\displaystyle n - 2 k + 1$개를 뽑는 조합의 수와 같다. 따라서 위 식의 해의 개수는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}{}_{k + 1}\mathrm{H}_{n - 2 k + 1} &={}_{n - k + 1}\mathrm{C}_{n - 2 k + 1} \\ &={}_{n - k + 1}\mathrm{C}_{k}\end{aligned}$

따라서 사건 $\displaystyle A \cap C$가 발생하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n - k + 1}\mathrm{C}_{k}$이다.

문제 (c)의 풀이에서 사건 $\displaystyle A \cap C$ 가 발생하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n - k + 1}\mathrm{C}_{k}$임을 보였다.

각 경우에 해당하는 사건은 $\displaystyle n$번의 시도 중 $\displaystyle k$번 성공하고 $\displaystyle n - k$번 실패해야 하므로, 각 경우에 해당하는 사건이 발생할 확률은 $\displaystyle ( \frac{{2}}{3} )^{k} ( \frac{{1}}{3} )^{n - k}$이다. 사건 $\displaystyle A \cap C$는 이러한 사건들의 합으로 이루어져 있으므로,$\displaystyle \mathrm P ( A \cap B ) ={}_{n - k + 1}\mathrm{C}_{k} ( \frac{{2}}{3} )^{k} ( \frac{{1}}{3} )^{n - k}$Correction. 마지막 식의 $\displaystyle P(A\cap B)$는 $\displaystyle P(A\cap C)$의 오기다. 오른쪽 식은 연속한 성공 없이 정확히 $\displaystyle k$번 성공할 확률이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.