자연계열 3번

[문제 3-1] 동전의 중심이 들어 있는 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정사각형을 생각하자.중심에서 가장 가까운 꼭짓점까지의 거리는 $\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}$ 이하이고,정사각형의 중심에서는 네 꼭짓점까지의 거리가 모두 $\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}$이다.따라서 반지름의 최솟값은 $\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}$이다.

[문제 3-2] 중심이 단위 정사각형 안에 있으면 덮일 수 있는 격자점은 그 네 꼭짓점뿐이다.대각선의 두 꼭짓점을 동시에 덮는 중심은 정사각형의 중심 하나뿐이므로넓이를 구할 때는 이웃한 두 꼭짓점을 덮는 경우만 고려하면 된다.이웃한 두 꼭짓점에서의 거리가 모두 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}$ 이하인 영역은 두 원의 공통부분의 절반이고,그 넓이는 $\displaystyle \frac\pi8-\frac14$이다.네 변에 해당하는 영역은 넓이가 겹치지 않으므로$\displaystyle 4\left(\frac\pi8-\frac14\right)=\frac\pi2-1$이다.