자연계열 6번

[문제 6-1] 주어진 등식을 연속한 두 자연수에 적용하여 빼면$\displaystyle f(n)-f(n+2)=f(n+3)\{f(n+2)-f(n+4)\}$이다.

어떤 $\displaystyle n$에서 $\displaystyle f(n)>f(n+2)$라면$\displaystyle f(n+3)>0$이므로$\displaystyle f(n+2)>f(n+4)$이고,이를 반복하면 양의 정수가 끝없이 엄격하게 감소해야 한다.그러나 한 번에 적어도 $\displaystyle 1$씩 감소하므로불가능하다.따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f(n)\le f(n+2)$이다.

[문제 6-2] 위 관계식에서 홀수 번째 항들은 모두 같거나 계속 엄격하게 증가하고,짝수 번째 항들도 모두 같거나 계속 엄격하게 증가한다.또한 [문제 6-1]에서$\displaystyle 2025=f(n+2)f(n+3)-f(n)-f(n+1)\ge(f(n+2)-1)(f(n+3)-1)-1$이므로$\displaystyle (f(n+2)-1)(f(n+3)-1)\le2026$이다.따라서 두 부분수열이 모두 엄격하게 증가할 수는 없다.둘 다 상수라면 홀수 번째 항은 $\displaystyle f(1)=1$이고,짝수 번째 항을 $\displaystyle b$라 할 때 주어진 식이 $\displaystyle 1+b=b-2025$가 되어 모순이다.그러므로 한쪽은 엄격하게 증가하고 다른 쪽은 상수이다.위 곱의 상한에 의해 그 상수는 $\displaystyle 1$이어야 한다.

(i) 홀수 번째 항들이 모두 $\displaystyle 1$이면 $\displaystyle f(21)=1$이다.짝수 번째 항을 $\displaystyle f(2k)=b+2026(k-1)$로 놓으면임의의 자연수 $\displaystyle b$에 대해 주어진 식을 만족하므로가능한 값이다.(ii) 짝수 번째 항들이 모두 $\displaystyle 1$이면$\displaystyle f(2k+1)=f(2k-1)+2026$이므로$\displaystyle f(21)=1+10\cdot2026=20261$이다.이때 $\displaystyle f(2k)=1$, $\displaystyle f(2k-1)=1+2026(k-1)$은 주어진 식을 만족한다.따라서 가능한 값은 $\displaystyle 1,20261$이다.