자연계열 1번

[문제 1-1](1) $\displaystyle 1+\sin x-\sin^3x-\sin^4x=(1+\sin^2x)(1-\sin^2x)+\sin x(1-\sin^2x)=\cos^2x(1+\sin x+\sin^2x)$이므로, $\displaystyle \frac{1+\sin x-\sin^3x-\sin^4x}{\cos^4x}=\frac{1+\sin x+\sin^2x}{\cos^2x}=(2\sec^2x-1)+\frac{\sin x}{\cos^2x}$이다.

$\displaystyle \cos x=t$라 하면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x$이고, 치환적분법에 의하여 주어진 적분은 다음과 같다.$\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}(2\sec^2x-1)\,dx+\int_0^{\frac\pi4}\frac{\sin x}{\cos^2x}\,dx=\Biggl[2\tan x-x\Biggr]_0^{\frac\pi4}-\int_1^{\frac{\sqrt2}2}\frac1{t^2}\,dt=\left(2-\frac\pi4\right)+\Biggl[\frac1t\Biggr]_1^{\frac{\sqrt2}2}=1+\sqrt2-\frac\pi4$

(2) $\displaystyle 1+2\sin x=t$라 하면, $\displaystyle \frac{dt}{dx}=2\cos x$이므로 치환적분법을 적용하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi6}(1+2\sin x)^{10}\sin x\cos x\,dx&=\frac14\int_1^2t^{10}(t-1)\,dt=\frac14\Biggl[\frac1{12}t^{12}-\frac1{11}t^{11}\Biggr]_1^2\\&=\frac1{48}(2^{12}-1)-\frac1{44}(2^{11}-1)=\frac{6827}{176}\end{aligned}$

(3) $\displaystyle \frac{x^2e^x-1}{x^2e^x+x}=\frac{e^x-\frac1{x^2}}{e^x+\frac1x}$이다. $\displaystyle e^x+\frac1x=t$라 하면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=e^x-\frac1{x^2}$이므로 치환적분법을 적용하면 다음과 같다.$\displaystyle \int_1^2\frac{x^2e^x-1}{x^2e^x+x}\,dx=\int_1^2\frac{e^x-\frac1{x^2}}{e^x+\frac1x}\,dx=\int_{e+1}^{e^2+\frac12}\frac1t\,dt=\Biggl[\ln t\Biggr]_{e+1}^{e^2+\frac12}=\ln\frac{2e^2+1}{2e+2}$

[문제 1-2](1) 원 $\displaystyle C$의 방정식은 $\displaystyle x^2-2cx+y^2=0$이고 점 Q의 $\displaystyle x$좌표를 구하기 위해 $\displaystyle x^2-2cx+r^2x^2=0$을 풀면, $\displaystyle x=\frac{2c}{1+r^2}$이므로 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{2c}{1+r^2},\frac{2cr}{1+r^2}\right)$이다. 같은 방법으로 점 R의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{2c}{1+r^2},-\frac{2cr}{1+r^2}\right)$이다.

이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=\frac{4cr}{1+r^2}$이므로 $\displaystyle \lim_{r\to0^+}\frac{\overline{\mathrm{QR}}}r=\lim_{r\to0^+}\frac{4cr}{r(1+r^2)}=\lim_{r\to0^+}\frac{4c}{1+r^2}=4c$이며,

$\displaystyle \lim_{r\to0^+}\frac{\overline{\mathrm{QR}}}r=3$로부터, $\displaystyle c=\frac34$이다.

(2) (1)에서 구한 두 점 P, Q의 좌표로부터 두 점을 P, Q를 지나는 직선의 방정식을 구하면 다음과 같다.Correction. “두 점을 P, Q를 지나는”에서 “두 점을”은 “두 점”의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle y=\frac{\frac{2cr}{1+r^2}-\sqrt r}{\frac{2c}{1+r^2}}x+\sqrt r=\frac{2cr-\sqrt r(1+r^2)}{2c}x+\sqrt r$이 직선이 점 $\displaystyle \mathrm{S}(h(r),0)$을 지나므로 $\displaystyle h(r)=\frac{-2c\sqrt r}{2cr-\sqrt r(1+r^2)}=\frac{2c}{1+r^2-2c\sqrt r}$이고

$\displaystyle \lim_{r\to0^+}h(r)=2c$이다.

$\displaystyle c=\left(\frac12\right)^n$이므로 $\displaystyle 2c=\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac1{2048}$이다. 따라서 $\displaystyle n=12$이다.