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자연계열 1번

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아주대 2025학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2025su/jayeon_1

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문제

[문항 1] 【제시문】을 읽고 물음에 답하라.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고, 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)에 대하여 a=g(α)\displaystyle a=g(\alpha), b=g(β)\displaystyle b=g(\beta)일 때 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 α,β\displaystyle \alpha,\beta를 포함하는 구간에서 연속이면 다음이 성립한다.∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dtCaution. 치환적분에서는 치환함수의 전체 치역에서 연속 조건이 성립하는지 확인해야 한다: 제시문 (가)의 함수 f\displaystyle f는 g([α,β])\displaystyle g([\alpha,\beta]) 전체에서 연속이어야 한다. g(t)\displaystyle g(t)가 두 끝값 a\displaystyle a, b\displaystyle b 사이를 벗어날 수도 있으므로, [a,b]\displaystyle [a,b]에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. g\displaystyle g가 단조함수이면 두 끝값 사이의 구간만 확인하면 된다. 실제 소문항에서 사용한 세 치환은 이 조건을 충족하므로 적분 계산에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(나) C\displaystyle C는 중심이 (c,0)\displaystyle (c,0)이고 반지름의 길이가 c\displaystyle c인 원이며, 점 P의 좌표는 (0,r)\displaystyle (0,\sqrt r)이다. 원점을 지나는 두 직선 y=rx\displaystyle y=rx와 y=−rx\displaystyle y=-rx를 생각하자. 【그림 1】과 같이 직선 y=rx\displaystyle y=rx와 원 C\displaystyle C의 교점 중 원점이 아닌 점을 Q, 직선 y=−rx\displaystyle y=-rx와 원 C\displaystyle C의 교점 중 원점이 아닌 점을 R, 직선 PQ와 x\displaystyle x축의 교점을 S라 하자.(단, 0<c<1\displaystyle 0<c<1이고 0<r<14\displaystyle 0<r<\frac14)

원 C와 직선 y=rx, y=-rx, 점 P, Q, R, S

[문제 1-1] (30점)제시문 (가)를 읽고 다음 물음에 답하라.(1) (10점) ∫0π41+sin⁡x−sin⁡3x−sin⁡4xcos⁡4x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\frac{1+\sin x-\sin^3x-\sin^4x}{\cos^4x}\,dx의 값을 구하라.(2) (10점) ∫0π6(1+2sin⁡x)10sin⁡xcos⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}(1+2\sin x)^{10}\sin x\cos x\,dx의 값을 구하라.(3) (10점) ∫12x2ex−1x2ex+x dx\displaystyle \int_1^2\frac{x^2e^x-1}{x^2e^x+x}\,dx의 값을 구하라.

[문제 1-2] (20점)제시문 (나)를 읽고 다음 물음에 답하라.(1) (10점) lim⁡r→0+QR‾r=3\displaystyle \lim_{r\to0^+}\frac{\overline{\mathrm{QR}}}r=3일 때 c\displaystyle c의 값을 구하라.(2) (10점) 자연수 n\displaystyle n에 대하여 c=(12)n\displaystyle c=\left(\frac12\right)^n일 때, 점 S의 x\displaystyle x좌표를 h(r)\displaystyle h(r)이라 하자. lim⁡r→0+h(r)=12048\displaystyle \lim_{r\to0^+}h(r)=\frac1{2048}인 n\displaystyle n의 값을 구하라.

해설강의 준비중

아주대 2025학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2025su/jayeon_1

+3점 · 주어진 적분을 ∫0π41+sin⁡x+sin⁡2xcos⁡2x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\frac{1+\sin x+\sin^2x}{\cos^2x}\,dx 정도로 간단히 정리함

[문제 1-1](1) 1+sin⁡x−sin⁡3x−sin⁡4x=(1+sin⁡2x)(1−sin⁡2x)+sin⁡x(1−sin⁡2x)=cos⁡2x(1+sin⁡x+sin⁡2x)\displaystyle 1+\sin x-\sin^3x-\sin^4x=(1+\sin^2x)(1-\sin^2x)+\sin x(1-\sin^2x)=\cos^2x(1+\sin x+\sin^2x)이므로, 1+sin⁡x−sin⁡3x−sin⁡4xcos⁡4x=1+sin⁡x+sin⁡2xcos⁡2x=(2sec⁡2x−1)+sin⁡xcos⁡2x\displaystyle \frac{1+\sin x-\sin^3x-\sin^4x}{\cos^4x}=\frac{1+\sin x+\sin^2x}{\cos^2x}=(2\sec^2x-1)+\frac{\sin x}{\cos^2x}이다.

+3점 · 각각의 부정적분을 올바르게 구함
+4점 · 답을 올바르게 구함

cos⁡x=t\displaystyle \cos x=t라 하면 dtdx=−sin⁡x\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x이고, 치환적분법에 의하여 주어진 적분은 다음과 같다.∫0π4(2sec⁡2x−1) dx+∫0π4sin⁡xcos⁡2x dx=[2tan⁡x−x]0π4−∫1221t2 dt=(2−π4)+[1t]122=1+2−π4\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}(2\sec^2x-1)\,dx+\int_0^{\frac\pi4}\frac{\sin x}{\cos^2x}\,dx=\Biggl[2\tan x-x\Biggr]_0^{\frac\pi4}-\int_1^{\frac{\sqrt2}2}\frac1{t^2}\,dt=\left(2-\frac\pi4\right)+\Biggl[\frac1t\Biggr]_1^{\frac{\sqrt2}2}=1+\sqrt2-\frac\pi4

+5점 · 치환적분법을 활용하여 주어진 적분식을 올바르게 변형함
+5점 · 답을 올바르게 구함

(2) 1+2sin⁡x=t\displaystyle 1+2\sin x=t라 하면, dtdx=2cos⁡x\displaystyle \frac{dt}{dx}=2\cos x이므로 치환적분법을 적용하면 다음과 같다.∫0π6(1+2sin⁡x)10sin⁡xcos⁡x dx=14∫12t10(t−1) dt=14[112t12−111t11]12=148(212−1)−144(211−1)=6827176\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi6}(1+2\sin x)^{10}\sin x\cos x\,dx&=\frac14\int_1^2t^{10}(t-1)\,dt=\frac14\Biggl[\frac1{12}t^{12}-\frac1{11}t^{11}\Biggr]_1^2\\&=\frac1{48}(2^{12}-1)-\frac1{44}(2^{11}-1)=\frac{6827}{176}\end{aligned}

+5점 · 치환적분법을 활용하여 주어진 적분식을 올바르게 변형함
+5점 · 답을 올바르게 구함

(3) x2ex−1x2ex+x=ex−1x2ex+1x\displaystyle \frac{x^2e^x-1}{x^2e^x+x}=\frac{e^x-\frac1{x^2}}{e^x+\frac1x}이다. ex+1x=t\displaystyle e^x+\frac1x=t라 하면 dtdx=ex−1x2\displaystyle \frac{dt}{dx}=e^x-\frac1{x^2}이므로 치환적분법을 적용하면 다음과 같다.∫12x2ex−1x2ex+x dx=∫12ex−1x2ex+1x dx=∫e+1e2+121t dt=[ln⁡t]e+1e2+12=ln⁡2e2+12e+2\displaystyle \int_1^2\frac{x^2e^x-1}{x^2e^x+x}\,dx=\int_1^2\frac{e^x-\frac1{x^2}}{e^x+\frac1x}\,dx=\int_{e+1}^{e^2+\frac12}\frac1t\,dt=\Biggl[\ln t\Biggr]_{e+1}^{e^2+\frac12}=\ln\frac{2e^2+1}{2e+2}

+3점 · 점 Q와 점 R의 좌표를 구하기 위한 방정식을 올바르게 세움

[문제 1-2](1) 원 C\displaystyle C의 방정식은 x2−2cx+y2=0\displaystyle x^2-2cx+y^2=0이고 점 Q의 x\displaystyle x좌표를 구하기 위해 x2−2cx+r2x2=0\displaystyle x^2-2cx+r^2x^2=0을 풀면, x=2c1+r2\displaystyle x=\frac{2c}{1+r^2}이므로 점 Q의 좌표는 (2c1+r2,2cr1+r2)\displaystyle \left(\frac{2c}{1+r^2},\frac{2cr}{1+r^2}\right)이다. 같은 방법으로 점 R의 좌표는 (2c1+r2,−2cr1+r2)\displaystyle \left(\frac{2c}{1+r^2},-\frac{2cr}{1+r^2}\right)이다.

+3점 · QR‾=4cr1+r2\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=\frac{4cr}{1+r^2}임을 관찰

이때 QR‾=4cr1+r2\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=\frac{4cr}{1+r^2}이므로 lim⁡r→0+QR‾r=lim⁡r→0+4crr(1+r2)=lim⁡r→0+4c1+r2=4c\displaystyle \lim_{r\to0^+}\frac{\overline{\mathrm{QR}}}r=\lim_{r\to0^+}\frac{4cr}{r(1+r^2)}=\lim_{r\to0^+}\frac{4c}{1+r^2}=4c이며,

+4점 · 답을 올바르게 구함

lim⁡r→0+QR‾r=3\displaystyle \lim_{r\to0^+}\frac{\overline{\mathrm{QR}}}r=3로부터, c=34\displaystyle c=\frac34이다.

+4점 · h(r)\displaystyle h(r)을 올바르게 구함

(2) (1)에서 구한 두 점 P, Q의 좌표로부터 두 점을 P, Q를 지나는 직선의 방정식을 구하면 다음과 같다.Correction. “두 점을 P, Q를 지나는”에서 “두 점을”은 “두 점”의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.y=2cr1+r2−r2c1+r2x+r=2cr−r(1+r2)2cx+r\displaystyle y=\frac{\frac{2cr}{1+r^2}-\sqrt r}{\frac{2c}{1+r^2}}x+\sqrt r=\frac{2cr-\sqrt r(1+r^2)}{2c}x+\sqrt r이 직선이 점 S(h(r),0)\displaystyle \mathrm{S}(h(r),0)을 지나므로 h(r)=−2cr2cr−r(1+r2)=2c1+r2−2cr\displaystyle h(r)=\frac{-2c\sqrt r}{2cr-\sqrt r(1+r^2)}=\frac{2c}{1+r^2-2c\sqrt r}이고

+3점 · 극한이 2c\displaystyle 2c임을 관찰함

lim⁡r→0+h(r)=2c\displaystyle \lim_{r\to0^+}h(r)=2c이다.

+3점 · 답을 올바르게 구함

c=(12)n\displaystyle c=\left(\frac12\right)^n이므로 2c=(12)n−1=12048\displaystyle 2c=\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac1{2048}이다. 따라서 n=12\displaystyle n=12이다.

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