약학과 2번

[문제 2-1] 함수 $\displaystyle f(x)=\frac a2x^2$ 위의 한 접점의 좌표를 $\displaystyle \left(t,\frac a2t^2\right)$이라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=at$이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y=at(x-t)+\frac a2t^2$이다. 이때 이 접선이 점 $\displaystyle \mathrm{P}(p,-1)$를 지나므로 $\displaystyle \frac a2t^2-apt-1=0$이다. 점 A와 점 B의 $\displaystyle x$좌표를 각각 $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$ ($\displaystyle \beta<\gamma$)라 하면, $\displaystyle \beta$와 $\displaystyle \gamma$는 위 이차방정식의 서로 다른 두 실근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여$\displaystyle \beta+\gamma=2p,\quad\beta\gamma=-\frac2a\qquad\cdots\cdots\text{①}$이다.

한편 두 직선 $\displaystyle m_1$과 $\displaystyle m_2$의 방정식은 각각$\displaystyle m_1:y=-\frac1{a\beta}(x-\beta)+\frac{a\beta^2}2,\quad m_2:y=-\frac1{a\gamma}(x-\gamma)+\frac{a\gamma^2}2$이므로 $\displaystyle -\frac xa\left(\frac1\beta-\frac1\gamma\right)+\frac a2(\beta^2-\gamma^2)=0$에서 $\displaystyle x=2ap$이다.

①을 이용하면 점 Q의 $\displaystyle y$좌표는 다음과 같다.$\displaystyle y=-\frac{2ap}{a\beta}+\frac1a+\frac{a\beta^2}2=-\frac{\beta+\gamma}\beta+\frac1a-\frac{\beta^2}{\beta\gamma}=2ap^2+\frac1a+1$그러므로 점 Q의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=2ap$이고 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=2ap^2+\frac1a+1$이다.

[문제 2-2](1) [문제 2-1]에서 구한 점 Q의 좌표에 $\displaystyle a=3$을 대입하면 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(6p,6p^2+\frac43\right)$이다. 점 Q가 곡선 $\displaystyle y=f(x)=\frac a2x^2$ 위의 점이므로 $\displaystyle 6p^2+\frac43=\frac32(6p)^2$이다. 따라서 $\displaystyle p^2=\frac1{36}$이고 $\displaystyle p=\pm\frac16$이다.

점 Q가 제2사분면 위의 점이므로 $\displaystyle p=-\frac16$이다.

(2) 점 Q가 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점이고 제2사분면 위에 있으므로 점 Q와 점 A는 일치한다. 따라서 삼각형 APB는 선분 AP가 빗변인 직각삼각형이다. $\displaystyle a=3$이고 [문제 2-2] (1)에 의해 $\displaystyle p=-\frac16$이므로 [문제 2-1]의 ①에 대입하여 점 A와 점 B의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$ ($\displaystyle \beta<\gamma$)를 계산하면 $\displaystyle \beta=-1$이고 $\displaystyle \gamma=\frac23$이다. 따라서 점 A의 좌표는 $\displaystyle \left(-1,\frac32\right)$이고 점 B의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac23,\frac23\right)$이다.

[문제 2-2] (1)에 의해 점 P의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac16,-1\right)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\frac{5\sqrt5}6$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\frac{5\sqrt{10}}6$이다. 그러므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AP}}}=\frac{\sqrt2}2$이다.

[문제 2-3](1) 【그림 4】의 오른쪽 그림에 의해 삼각형 PQA와 PQB는 각각 $\displaystyle \angle\mathrm{A}$와 $\displaystyle \angle\mathrm{B}$가 직각인 직각삼각형이므로, 점 P, Q, A, B는 원 위에 있고 선분 PQ는 그 원의 지름이다.

또한, 그 원은 삼각형 APB의 외접원이므로 사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin\theta}=\overline{\mathrm{PQ}}$이다. $\displaystyle \cos\theta=\frac{2\sqrt{13}}{13}$이므로 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac{3\sqrt{13}}{13}$이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin\theta}=\frac{12\sqrt5}5\times\frac{13}{3\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{65}}5$이다.

(2) 두 선분 AQ와 BP의 교점을 T라 하면 삼각형 APT와 QTB는 각각 $\displaystyle \angle\mathrm{A}$와 $\displaystyle \angle\mathrm{B}$가 직각인 직각삼각형이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{BQ}}=3:\sqrt{13}$이므로 양수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=3k$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\sqrt{13}k$라 하자. 호 AB에 대한 원주각의 크기는 같으므로 [문제 2-3]의 (1)로부터 $\displaystyle \angle\mathrm{Q}$의 크기는 $\displaystyle \theta$임을 알 수 있다. 따라서 삼각형 APT와 QTB는 닮음비가 $\displaystyle 3:\sqrt{13}$인 닮은 삼각형이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}\cos\theta=\overline{\mathrm{AP}}=3k$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}=\frac{3\sqrt{13}}2k$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}\sin\theta=\overline{\mathrm{AT}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AT}}=\frac92k$이다. 두 삼각형의 닮음비를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AT}}:\overline{\mathrm{BT}}=3:\sqrt{13}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BT}}=\frac{\sqrt{13}}3\overline{\mathrm{AT}}=\frac{3\sqrt{13}}2k$이고, 이를 통해 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{PT}}+\overline{\mathrm{BT}}=3\sqrt{13}k$를 얻을 수 있다.

피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2=\overline{\mathrm{BP}}^2+\overline{\mathrm{BQ}}^2$이므로 [문제 2-3]의 (1)에서 구한 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$를 이용하면 $\displaystyle \left(\frac{4\sqrt{65}}5\right)^2=(3\sqrt{13}k)^2+(\sqrt{13}k)^2$이고 이를 정리하면 $\displaystyle k^2=\frac8{25}$이다. 그러므로 삼각형 APB의 넓이는$\displaystyle \frac12\overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{BP}}\times\sin\theta=\frac12\times(3k)\times(3\sqrt{13}k)\times\frac{3\sqrt{13}}{13}=\frac{27}2k^2=\frac{108}{25}$이다.