자연계열 (오후) 1번

[문제 1-1](1) $\displaystyle -1\le x\le1$일 때 $\displaystyle (F(x))^2=x^2$이다. 따라서 $\displaystyle c=0$일 때, 함수 $\displaystyle y=(F(x))^2$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x-c$는 두 점에서 만난다.

$\displaystyle 0<c<2$이라 하자. 함수 $\displaystyle y=(F(x))^2$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x-c$의 교점의 개수가 2가 되려면, 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 함수 $\displaystyle y=x^2$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x-c$가 접해야 한다. 그 접점을 $\displaystyle (a,a^2)$이라 두면 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2a(x-a)+a^2$이므로 $\displaystyle a=\frac12$이고, 접선의 방정식은 $\displaystyle y=x-\frac14$이다. 따라서 $\displaystyle c=\frac14$이다.

$\displaystyle 0<c<\frac14$일 때 함수 $\displaystyle y=(F(x))^2$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x-c$는 세 점에서 만나고, $\displaystyle \frac14<c<2$일 때 한 점에서 만난다. 따라서 답은 $\displaystyle 0$, $\displaystyle \frac14$이다.

(2) 함수 $\displaystyle y=F(x)$와 $\displaystyle y=bx$가 <조건>을 만족하므로, $\displaystyle 0<b<\frac13$이다.Comment. 극한값에는 영향이 없지만, $\displaystyle b=\frac13$일 때도 $\displaystyle \alpha=\frac32$, $\displaystyle \beta=3$으로 조건을 만족하므로 범위는 $\displaystyle 0<b\le\frac13$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.함수 $\displaystyle y=F(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=bx$의 원점이 아닌 교점 중 $\displaystyle x$좌표가 가장 작은 두 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac2{1+b},\frac{2b}{1+b}\right)$와 $\displaystyle \left(\frac2{1-b},\frac{2b}{1-b}\right)$이다. 닫힌구간 $\displaystyle [0,3]$에서 $\displaystyle y=F(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=bx$, $\displaystyle x$축에 의하여 생기는 여러 삼각형의 넓이로부터 $\displaystyle r_1=\frac{1-b}{1+b}$, $\displaystyle r_2=\frac{4b^2}{1-b^2}$임을 알 수 있다.

따라서 $\displaystyle \lim_{b\to0^+}\frac{b^mr_1}{r_2}=\lim_{b\to0^+}\frac{b^m(1-b)^2}{4b^2}=\lim_{b\to0^+}\frac{b^{m-2}(1-b)^2}4$이므로 이 극한이 0이 아닌 실수를 극한값으로 가지려면, $\displaystyle m=2$이다.

이 때, $\displaystyle \lim_{b\to0^+}\frac{b^2r_1}{r_2}=\frac14$이다.

(3) 두 곡선 $\displaystyle y=x\left(x-\frac12\right)^2$, $\displaystyle y=p^2x$의 원점이 아닌 두 교점의 $\displaystyle x$좌표는 방정식 $\displaystyle x\left(x-\frac12\right)^2-p^2x=0$의 서로 다른 두 양의 실근이다. 따라서 두 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac12-p$, $\displaystyle \frac12+p$이다.

$\displaystyle r_1=r_2$이므로 $\displaystyle \int_0^{\frac12-p}\left(x\left(x-\frac12\right)^2-p^2x\right)\,dx=\int_{\frac12-p}^{\frac12+p}\left(p^2x-x\left(x-\frac12\right)^2\right)\,dx$이고 이를 정리하면 $\displaystyle \int_0^{\frac12+p}\left(x\left(x-\frac12\right)^2-p^2x\right)\,dx=0$이다.

즉,$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac12+p}\left(x\left(x-\frac12\right)^2-p^2x\right)\,dx&=\frac14\left(\frac12+p\right)^4-\frac13\left(\frac12+p\right)^3+\frac12\left(\frac14-p^2\right)\left(\frac12+p\right)^2\\&=\frac1{12}\left(\frac12+p\right)^3\left(3\left(\frac12+p\right)-4+6\left(\frac12-p\right)\right)=0\end{aligned}$이다. $\displaystyle 0<p<\frac14$이므로 $\displaystyle 3\left(\frac12+p\right)-4+6\left(\frac12-p\right)=0$이고 이를 풀면 $\displaystyle p=\frac16$이다.

[문제 1-2](1) 도형 $\displaystyle S$의 넓이를 치환적분법과 부분적분법을 이용하여 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac12}\ln(2x+1)\,dx&=\frac12\int_1^2\ln u\,du\qquad(u=2x+1\text{로 치환})\\&=\frac12\Biggl[u\ln u\Biggr]_1^2-\frac12\int_1^2 1\,du=\ln2-\frac12\end{aligned}$

(2) 곡선 $\displaystyle y=x^3$, 직선 $\displaystyle x=a$, $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle W_1$, 곡선 $\displaystyle y=\frac1{k^3}x^3$, 직선 $\displaystyle y=2a^3$, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle W_2$라 하자. 도형 $\displaystyle W_1$과 $\displaystyle W_2$의 넓이를 각각 $\displaystyle w_1$, $\displaystyle w_2$라 쓰자. 도형 $\displaystyle S$의 넓이는 $\displaystyle \int_0^a(2x^3-x^3)\,dx=\int_0^a x^3\,dx=w_1$이 되어 $\displaystyle w_1=\frac{a^4}4$이다. 도형 $\displaystyle S$의 넓이와 $\displaystyle T$의 넓이가 같으므로 네 직선 $\displaystyle x=a$, $\displaystyle y=2a^3$, $\displaystyle x=0$, $\displaystyle y=0$으로 둘러싸인 직사각형의 넓이를 생각하면 $\displaystyle 3w_1+w_2=2a^4$이다. 따라서 $\displaystyle w_2=\frac54a^4$이다.

곡선 $\displaystyle y=\frac1{k^3}x^3$과 직선 $\displaystyle y=2a^3$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \beta$라 하면, $\displaystyle w_2+\int_0^\beta\frac1{k^3}x^3\,dx=2a^3\beta$가 성립하고 $\displaystyle w_2=\frac54a^4$으로부터 $\displaystyle \frac54a^4+\frac{\beta^4}{4k^3}=2a^3\beta$이다. 한편 $\displaystyle \beta=ak\sqrt[3]2$이므로 $\displaystyle \frac54a^4+\frac12a^4k\sqrt[3]2=2a^4k\sqrt[3]2$이다.

$\displaystyle a>0$이므로 양변에 $\displaystyle a^4$을 나누어 $\displaystyle k$를 구하면 $\displaystyle k=\frac5{6\sqrt[3]2}=\frac{5\sqrt[3]4}{12}$이다.