자연계열 2번

(2) $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$이므로 $\displaystyle t=\frac1{\sin\theta}>1$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}(0,p)$, 점 $\displaystyle \mathrm{X}(\cos\theta,p-\sin\theta)$에 대하여 점 X에서 원 $\displaystyle C$에 접하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}x-\frac1{\sin\theta}+p$이다.

이 접선이 곡선 $\displaystyle y=x^2-1$과 서로 다른 두 점에서 만나므로 방정식 $\displaystyle (\sin\theta)x^2-(\cos\theta)x-(1+p)\sin\theta+1=0$은 서로 다른 두 실근 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$를 갖는다. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 $\displaystyle (\alpha+\beta)^2=\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\frac{1-\sin^2\theta}{\sin^2\theta}=t^2-1$, $\displaystyle \alpha\beta=\frac1{\sin\theta}-(1+p)=t-1-p$이다.

$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=t^2-1-4(t-1-p)=t^2-4t+4p+3$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle f(t)=\overline{\mathrm{AB}}^2=(\alpha-\beta)^2+(\alpha^2-\beta^2)^2=(\alpha-\beta)^2(1+(\alpha+\beta)^2)=t^2(t^2-4p+4p+3)$Correction. $\displaystyle -4p$는 $\displaystyle -4t$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-2](1) $\displaystyle p=1$, $\displaystyle f(t)=12$에 의해 $\displaystyle f(t)=t^2(t^2-4t+7)=12$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle (t-2)(t+1)(t^2+3t+3)=0$이다.Correction. 인수분해하면 $\displaystyle (t-2)(t+1)(t^2-3t+6)=0$이다. 이때 $\displaystyle t^2-3t+6=(t-\frac32)^2+\frac{15}4>0$이므로 $\displaystyle t=2$라는 결론은 같다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle t>1$, $\displaystyle t^2+3t+3=\left(t+\frac32\right)^2+\frac34>0$이므로 $\displaystyle t=2$이다. $\displaystyle t=\frac1{\sin\theta}=2$에서 $\displaystyle \sin\theta=\frac12$이고 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$이다.

[문제 2-1] (1)에 의하여 점 X의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}2,\frac12\right)$이다.

(2) 점 $\displaystyle \mathrm{Q}\left(\frac12,-\frac34\right)$에서의 $\displaystyle y=x^2-1$에 대한 접선의 기울기가 1이다.

직선 AB의 기울기는 $\displaystyle \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$이고, 점 Q에서의 접선과 직선 AB가 평행하므로 $\displaystyle \frac{\cos\theta}{\sin\theta}=1$, $\displaystyle \theta=\frac\pi4$이다. $\displaystyle \theta=\frac\pi4$일 때, $\displaystyle t=\sqrt2$이므로

$\displaystyle f(\sqrt2)=2(2-4\sqrt2+3+4p)=12$에서 $\displaystyle p=\frac14+\sqrt2$이다.

[문제 2-3] $\displaystyle f(t)=t^2(t^2-4t+4p+3)$이고 $\displaystyle f^{\prime}(t)=2t(2t^2-6t+4p+3)$이므로 $\displaystyle p<\frac38$이면 다음이 성립한다.$\displaystyle f^{\prime}(t)=4t\left(t-\frac{3-\sqrt{3-8p}}2\right)\left(t-\frac{3+\sqrt{3-8p}}2\right)$

$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3-8p}}2$, $\displaystyle \beta=\frac{3+\sqrt{3-8p}}2$라 하면 함수 $\displaystyle f(t)$의 증가와 감소를 나타낸 표는 다음과 같다.

$\displaystyle \beta>1$이므로 사차함수의 그래프의 개형에 의해 $\displaystyle f(t_1)=f(t_2)$인 서로 다른 실수 $\displaystyle t_1$과 $\displaystyle t_2$가 존재한다. $\displaystyle p\ge\frac38$이면 $\displaystyle t>1$에서 $\displaystyle f^{\prime}(t)>0$이므로 사차함수의 그래프의 개형에 의해 $\displaystyle f(t_1)=f(t_2)$인 서로 다른 실수 $\displaystyle t_1$과 $\displaystyle t_2$가 존재하지 않는다.Caution. 미분가능한 증가함수나 감소함수도 도함수가 0인 점이 있을 수 있다: $\displaystyle p=\frac38$, $\displaystyle t=\frac32$에서는 $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$이다. 이 한 점을 제외하면 도함수가 양수이므로 $\displaystyle f(t)$는 여전히 증가한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle \frac14<p<\frac38$이다.