의학계 1번

[문제 1-1]$\displaystyle f(x+2)=f(x)$이므로 음이 아닌 모든 실수 $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$에 대하여 $\displaystyle \left|\int_\beta^\gamma f(t)\,dt\right|\le2025$이려면 $\displaystyle \int_0^2 f(t)\,dt=0$이어야 한다.

각 구간별로 적분을 계산해보면$\displaystyle \begin{aligned}a\int_0^{\frac12}(\log_2(2-2t)-1)\,dt&=\frac a{\ln2}\int_0^{\frac12}\ln(1-t)\,dt\qquad\left(1-t=u\text{라 하면 }\frac{du}{dt}=-1\text{이므로}\right)\\&=\frac a{\ln2}\int_{\frac12}^1\ln u\,du=\frac a{\ln2}\Biggl[u\ln u-u\Biggr]_{\frac12}^1=\frac a2\left(1-\frac1{\ln2}\right)\end{aligned}$$\displaystyle \int_{\frac12}^{\frac32}\left((a+2)\left(t-\frac32\right)+2\right)\,dt=-\frac12a+1$$\displaystyle \int_{\frac32}^2(-4t+8)\,dt=\frac12$이므로$\displaystyle \int_0^2 f(t)\,dt=\frac a2\left(1-\frac1{\ln2}\right)+\left(-\frac12a+1\right)+\frac12\qquad\cdots\cdots\text{①}$이다.

$\displaystyle \int_0^2 f(t)\,dt=0$이므로 $\displaystyle \frac a2\left(1-\frac1{\ln2}\right)+\left(-\frac12a+1\right)+\frac12=0$이고 $\displaystyle a=3\ln2$이다.Comment. $\displaystyle a=3\ln2$일 때 한 주기의 적분값이 0이고 $\displaystyle |f(t)|<3$이다. 따라서 임의의 두 시각 사이의 적분은 길이가 2보다 작은 구간의 적분으로 줄일 수 있어 절댓값이 6보다 작다. 주어진 조건도 만족한다.

[문제 1-2](1) $\displaystyle v(t)$는 $\displaystyle a=2$일 때의 $\displaystyle f(t)$이므로 [문제 1-1]의 ①에 $\displaystyle a=2$를 대입하면 $\displaystyle \int_0^2v(t)\,dt=\frac32-\frac1{\ln2}$이다.

음이 아닌 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle v(t+2)=v(t)$가 성립하므로$\displaystyle g(4)=\frac12+\int_0^4v(t)\,dt=\frac12+2\int_0^2v(t)\,dt=\frac72-\frac2{\ln2}$이다.

$\displaystyle 2<e$에 의해 $\displaystyle \frac1{\ln2}>1$이고 $\displaystyle e^2<8$에 의해 $\displaystyle \frac1{\ln2}<\frac32$이므로 $\displaystyle 0<g\left(\frac12\right)<\frac12$, $\displaystyle -\frac12<g\left(\frac32\right)<0$, $\displaystyle \frac12<g(2)<1$이다.Correction. $\displaystyle g(\frac32)=\frac32-\frac1{\ln2}$이므로 $\displaystyle 0<g(\frac32)<\frac12$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle g(t_1)=\frac12$이 되는 $\displaystyle t_1$은 $\displaystyle \frac32<t_1<2$임을 알 수 있다.

닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac32,2\right]$에서 $\displaystyle \int_{\frac32}^{t_1}v(s)\,ds=\int_{\frac32}^{t_1}(-4s+8)\,ds=-2t_1^2+8t_1-\frac{15}2$이므로$\displaystyle g(t_1)=g\left(\frac32\right)+\int_{\frac32}^{t_1}v(s)\,ds=\left(\frac32-\frac1{\ln2}\right)+\left(-2t_1^2+8t_1-\frac{15}2\right)=-2t_1^2+8t_1-6-\frac1{\ln2}$이다.

방정식 $\displaystyle g(t_1)=\frac12$를 이용하면 $\displaystyle t_1^2-4t_1=-\frac{13}4-\frac1{2\ln2}$이다.

[문제 1-3](1) [문제 1-2]의 함수 $\displaystyle g(t)$의 증가와 감소를 나타낸 표에서 $\displaystyle g(t)$의 값을 $\displaystyle \frac1{\ln2}=1.443$으로 계산하면, $\displaystyle g(1)-g(0)=\left(1-\frac1{\ln2}\right)-\frac12=-0.943$이고 $\displaystyle g(2)-g(0)=\frac32-\frac1{\ln2}=0.057$이다. 함수 $\displaystyle v(t)$가 주기가 2인 함수이므로 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle g(2n+1)-g(2n)=1-\frac1{\ln2}-\frac12=-0.943$이고, $\displaystyle g(2n+2)-g(2n)=\frac32-\frac1{\ln2}=0.057$이다.

따라서 $\displaystyle g(2n)=\frac12+0.057n$이고, $\displaystyle 0<g(2n)<0.943$이면 점 P는 $\displaystyle 2n<t<2n+2$에서 원점을 두 번 지나고, $\displaystyle g(2n)=0.943$이면 점 P는 $\displaystyle 2n<t<2n+2$에서 원점을 한 번 지나고, $\displaystyle g(2n)>0.943$이면 $\displaystyle t>2n$에서 점 P는 원점을 지나지 않는다.

$\displaystyle n=7$일 때 $\displaystyle g(2n)=g(14)=0.899<0.943$이고, $\displaystyle n=8$일 때 $\displaystyle g(2n)=g(16)=0.956>0.943$이므로 점 P는 원점을 16번 지난다.

(2) 함수 $\displaystyle y=g(t)$의 그래프와 함수 $\displaystyle y=h(t)$의 그래프가 제1사분면에서 3번 만나야 한다. [문제 1-2]의 함수 $\displaystyle g(t)$의 증가와 감소를 나타낸 표를 이용하면 함수 $\displaystyle y=g(t)$의 그래프와 함수 $\displaystyle y=h(t)$의 그래프는 열린구간 $\displaystyle \left(\frac32,2\right)$에서 두 번 만나고, 열린구간 $\displaystyle \left(\frac72,4\right)$에서 접해야 한다. 두 함수의 그래프가 접할 때 접점의 $\displaystyle t$좌표가 $\displaystyle \alpha$이므로 $\displaystyle \frac72<\alpha<4$이고 접점의 좌표를 $\displaystyle \left(\alpha,m\alpha+\frac12\right)$이라 하면 $\displaystyle v(\alpha)=m$, $\displaystyle g(\alpha)=m\alpha+\frac12$이다.

$\displaystyle \frac72<\alpha<4$이므로 $\displaystyle v(\alpha)=v(\alpha-2)=-4\alpha+16$이고 $\displaystyle v(\alpha)=m$을 이용하여 정리하면 $\displaystyle m=-4\alpha+16$이다.

[문제 1-2] (1)에서 $\displaystyle g(4)=\frac72-\frac2{\ln2}$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle g(\alpha)=\frac12+\int_0^\alpha v(t)\,dt=\frac12+\int_0^4v(t)\,dt-\int_\alpha^4v(t)\,dt=g(4)-\int_\alpha^4v(t)\,dt=\left(\frac72-\frac2{\ln2}\right)-2\alpha^2+16\alpha-32$

$\displaystyle m=-4\alpha+16$과 $\displaystyle g(\alpha)=m\alpha+\frac12$을 이용하여 정리하면 $\displaystyle \alpha^2=\frac1{\ln2}+\frac{29}2$이다.