약학과 1번

[문제 1-1](1) 점 P는 제1사분면 위의 교점이므로 $\displaystyle p>0$이다. 방정식 $\displaystyle ap^2=-ap+a^2+4$를 풀면 다음과 같다.$\displaystyle p=\frac{-a+\sqrt{a^2+4a(a^2+4)}}{2a}=-\frac12+\sqrt{\frac14+\left(a+\frac4a\right)}$

$\displaystyle a>0$이므로 산술평균과 기하평균의 대소관계에 의하여, $\displaystyle a+\frac4a\ge4$이며 등호는 $\displaystyle a=2$일 때 성립한다. 즉,$\displaystyle p=-\frac12+\sqrt{\frac14+\left(a+\frac4a\right)}\ge-\frac12+\sqrt{\frac14+4}=\frac{-1+\sqrt{17}}2$이다.

그러므로 $\displaystyle p$의 최솟값은 $\displaystyle a=2$일 때 $\displaystyle \frac{-1+\sqrt{17}}2$이다.

(2) 점 P는 두 함수의 교점이므로 $\displaystyle ap^2=-ap+a^2+4$가 성립한다. 직선 $\displaystyle y=ap^2$에 의하여 도형 $\displaystyle S$가 나뉘는 부분 중 윗부분과 아랫부분의 넓이를 각각 구하자. $\displaystyle f_1(p)=f_1(-p)=ap^2$이므로 $\displaystyle y=ap^2$은 두 함수의 교점을 지나고 $\displaystyle x$축에 평행한 직선이고, 도형 $\displaystyle S$가 나뉘는 부분 중 윗부분은 밑변의 길이가 $\displaystyle 2p$이고 높이가 $\displaystyle ((a^2+4)-ap^2)$인 삼각형이다. 따라서 그 넓이는 $\displaystyle p(-ap^2+a^2+4)=ap^2$이다.

직선 $\displaystyle y=ap^2$에 의하여 도형 $\displaystyle S$가 나뉘는 부분 중 아랫부분은 곡선 $\displaystyle y=ax^2$과 직선 $\displaystyle y=ap^2$, $\displaystyle x=p$, $\displaystyle x=p$로 둘러싸인 도형이므로Correction. 두 번 적힌 $\displaystyle x=p$ 중 앞의 것은 $\displaystyle x=-p$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. 정적분을 이용하여 그 넓이를 구하면 $\displaystyle \int_{-p}^p(ap^2-ax^2)\,dx=\frac43ap^3$이다. 따라서 $\displaystyle S$의 넓이는 $\displaystyle \frac43ap^3+ap^2$이다.

(3) [문제 1-1] (1)과 (2)로부터 $\displaystyle p>1$이므로 $\displaystyle \frac43ap^3>ap^2$이다. 따라서 직선 $\displaystyle y=ap^2$에 의하여 도형 $\displaystyle S$가 나뉘는 부분 중 아랫부분의 넓이가 윗부분의 넓이보다 크므로, $\displaystyle S$의 넓이를 반으로 나누려면 직선 $\displaystyle y=4a$가 직선 $\displaystyle y=ap^2$보다 더 아래에 있어야 한다. 직선 $\displaystyle y=4a$와 곡선 $\displaystyle y=ax^2$으로 둘러싸인 부분의 넓이는 도형 $\displaystyle S$의 넓이의 반이고 직선 $\displaystyle y=4a$와 곡선 $\displaystyle y=ax^2$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \pm2$이므로,$\displaystyle \int_{-2}^2(4a-ax^2)\,dx=\frac{32}3a=\frac23ap^3+\frac{ap^2}2$이다.

따라서 이를 정리하면 $\displaystyle 4p^3+3p^2=64$이다.

[문제 1-2](1) 곡선 $\displaystyle y=e^{x+k}$이 $\displaystyle -\frac32<x<0$, $\displaystyle x>\frac32$에서 각각 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 접하는 경우의 점을 $\displaystyle (t,e^{t+k})$라 두면, $\displaystyle -\frac32<t<0$이거나 $\displaystyle t>\frac32$이다. $\displaystyle -\frac32<t<0$이면, $\displaystyle e^{t+k}=2$이고 $\displaystyle e^{t+k}=2t+3$이므로 $\displaystyle t=-\frac12$, $\displaystyle k=\ln2+\frac12$이다. $\displaystyle t>\frac32$이면 $\displaystyle e^{t+k}=2$, $\displaystyle e^{t+k}=2t-3$이므로 $\displaystyle t=\frac52$, $\displaystyle k=\ln2-\frac52$이다.

지수함수 $\displaystyle y=e^{x+k}$와 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프의 개형으로부터 두 함수의 그래프의 교점이 3인 경우는 $\displaystyle \ln2-\frac52<k<\ln2+\frac12$이다.

(2) 원 $\displaystyle (x-c)^2+\left(y-\frac32\right)^2=\frac94$가 열린구간 $\displaystyle \left(-\frac32,0\right)$, $\displaystyle \left(0,\frac32\right)$에서 각각 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프가 접하는 경우를 조사해 보자.먼저 열린구간 $\displaystyle \left(-\frac32,0\right)$에서 접하면 $\displaystyle g(x)=2x+3$이므로 이차방정식 $\displaystyle (x-c)^2+\left(2x+3-\frac32\right)^2=\frac94$이 중근을 갖는다. 즉, $\displaystyle 5x^2+(6-2c)x+c^2=0$이고 판별식 $\displaystyle D=(6-2c)^2-20c^2=0$에서 $\displaystyle c=-\frac34\pm\frac{3\sqrt5}4$이다. 이 중 실근의 개수가 3인 것은 $\displaystyle c=-\frac34-\frac34\sqrt5$이다.열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac32\right)$에서 접하면 $\displaystyle g(x)=-2x+3$이므로 이차방정식 $\displaystyle (x-c)^2+\left(-2x+3-\frac32\right)^2=\frac94$이 중근을 갖는다. 즉, $\displaystyle 5x^2-(2c+6)x+c^2=0$이고 판별식 $\displaystyle D=(-2c-6)^2-20c^2=0$에서 $\displaystyle c=\frac34\pm\frac{3\sqrt5}4$이다. 이 중 실근의 개수가 3인 것은 $\displaystyle c=\frac34+\frac{3\sqrt5}4$이다.

원 $\displaystyle (x-c)^2+\left(y-\frac32\right)^2=\frac94$가 세 점 $\displaystyle (0,3)$, $\displaystyle \left(-\frac32,0\right)$, $\displaystyle \left(\frac32,0\right)$ 중 하나를 지나는 경우도 두 곡선의 교점이 3개다. 이때 $\displaystyle c$의 값은 각각 $\displaystyle 0$, $\displaystyle -\frac32$, $\displaystyle \frac32$이다. 따라서 $\displaystyle c$의 값은 $\displaystyle -\frac34-\frac{3\sqrt5}4$, $\displaystyle -\frac32$, $\displaystyle 0$, $\displaystyle \frac34+\frac{3\sqrt5}4$, $\displaystyle \frac32$이다.