자연계열 (오후) 2번

[문제 2-1](1) 【그림 6】에서 왼쪽 원과 선분 EF와의 접점을 P라 하자. $\displaystyle \theta=\frac\pi4$이므로 P와 원의 중심을 연결한 직선은 점 B를 지나고 삼각형 BFP는 직각이등변삼각형이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{FP}}=b$라 하자. 원과 접선의 성질에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{BF}}=b+10$이다. 직각이등변삼각형의 삼각비에 의하여 $\displaystyle b+10=b\sqrt2$이고 $\displaystyle b=10+10\sqrt2$이다.

따라서, $\displaystyle L=\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{AE}}+\overline{\mathrm{FG}}=(b+10)+(b-20)+20\pi=10+20\sqrt2+20\pi$이다.

(2) 【그림 6】에서 왼쪽 원의 중심이 원점에 있다고 하고 이 원과 선분 EF와의 접점을 P라 하자, 점 P의 좌표는 $\displaystyle (10\sin\theta,10\cos\theta)$이고 이 점에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}x+\frac{10}{\cos\theta}$이다.Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 $\displaystyle y$축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: $\displaystyle \theta=\frac\pi2$이면 접선은 수직선 $\displaystyle x=10$이므로 기울기 식을 쓸 수 없다. 접선을 $\displaystyle x\sin\theta+y\cos\theta=10$으로 나타내면 이 경우도 포함되며, 이때 $\displaystyle L=40+20\pi$이다. 최솟값에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.점 E의 좌표는 $\displaystyle (c,20)$이고 점 F의 좌표를 $\displaystyle (b,-10)$이라 두자. 이때 두 점 E와 F는 이 직선 위에 있으므로 $\displaystyle b=\frac{10(1+\cos\theta)}{\sin\theta}$, $\displaystyle c=\frac{10-20\cos\theta}{\sin\theta}$를 만족한다. 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{BF}}=b+10$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}}=10+c$이고 $\displaystyle L=\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{AE}}+\overline{\mathrm{FG}}=b+c+20+20\pi=\frac{20-10\cos\theta}{\sin\theta}+20+20\pi$이다.

$\displaystyle L$의 최솟값을 구하기 위해 몫의 미분법을 이용하면 $\displaystyle \frac{dL}{d\theta}=\frac{10(\sin\theta)^2-(20-10\cos\theta)\cos\theta}{(\sin\theta)^2}=\frac{10-20\cos\theta}{(\sin\theta)^2}$이고 $\displaystyle \frac{dL}{d\theta}=0$를 만족하면 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$이므로 이때 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt3}2$이다.

따라서 구하는 $\displaystyle L$의 최솟값은 $\displaystyle 10\sqrt3+20\pi+20$이다.

[문제 2-2](1) 【그림 8】에 의하여 세려고 하는 정육각형은 1, 2, 3층에 있음을 알 수 있다.

각 층의 정육각형의 개수는 각각 5, 4, 5이다. 따라서 $\displaystyle X=14$이다.

(2) $\displaystyle j$층의 정육각형의 꼭짓점 중 $\displaystyle y$좌표가 가장 큰 꼭짓점의 $\displaystyle y$좌표를 $\displaystyle a_j$라고 하면 $\displaystyle a_{j+1}=a_j+\sqrt3$ ($\displaystyle j\le98$)이다. $\displaystyle a_1=\frac{4\sqrt3}3$이므로 $\displaystyle a_j=\frac{4\sqrt3}3+(j-1)\sqrt3$이다. $\displaystyle a_M=M\sqrt3+\frac{\sqrt3}3$이므로

$\displaystyle M\sqrt3+\frac{\sqrt3}3\le\ell$이어야 한다. $\displaystyle M=\frac\ell2+1$이므로 $\displaystyle \left(\frac\ell2+1\right)\sqrt3+\frac{\sqrt3}3\le\ell$을 풀면 $\displaystyle \frac{16\sqrt3+24}3\le\ell$이다.

$\displaystyle 1.73<\sqrt3<1.74$로부터, $\displaystyle 17<\frac{16\sqrt3+24}3<18$이다.

따라서 가장 작은 짝수 $\displaystyle \ell$의 값은 18이다.

(3) $\displaystyle k$가 짝수이므로 홀수층에는 $\displaystyle \frac k2$개가 있고 짝수층에는 $\displaystyle \left(\frac k2-1\right)$개가 있다. 따라서 두 개의 연속된 층에는 $\displaystyle (k-1)$개의 정육각형이 있다.Caution. 일반식을 구한 뒤에는 적용 범위와 작은 경우의 예외를 확인해야 한다: 각 층에는 정육각형이 50개씩 있으므로 이 개수식은 $\displaystyle k\le100$인 범위에서 적용한다. 이 범위를 넘어 같은 식을 적용하면 실제 배치와 맞지 않는다. 구하는 최솟값 $\displaystyle k=12$에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2)에서 구한 값 $\displaystyle \ell=18$이므로 $\displaystyle M=10$이고 두 개의 연속된 층이 5개 있다. $\displaystyle X=5(k-1)$이므로 $\displaystyle 5k-5>\frac{18k}4$이다.

그러므로 $\displaystyle k>10$이고 이를 만족하는 짝수 $\displaystyle k$의 최솟값은 12이다.