자연계열 1번

[문제 1-1](1) $\displaystyle x>-1$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2+2x$이고 $\displaystyle x<-1$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=-3x^2-2x$이므로 양수 $\displaystyle t$에 대하여Correction. 여기서 $\displaystyle g^{\prime}(x)$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \ell_1:y=-(3(t+1)^2-2(t+1))(x+(t+1))+(t+1)^3-(t+1)^2$$\displaystyle \ell_2:y=(3(t-1)^2+2(t-1))(x-(t-1))+(t-1)^3+(t-1)^2$이다.

두 직선의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구하면$\displaystyle x=a(t)=-\frac{5t^2+1}{3t^2+1}$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}a(t)=-\frac53$이다.

(2) 충분히 작은 양수 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle \ell_3:y=(3t^2-2t)(x+t)-t^3+t^2$$\displaystyle \ell_4:y=(3t^2+2t)(x-t)+t^3+t^2$이다. 직선 $\displaystyle \ell_3$와 $\displaystyle x$축의 교점은 $\displaystyle \mathrm{R}\left(-\frac{2t^2-t}{3t-2},0\right)$, 직선 $\displaystyle \ell_4$와 $\displaystyle x$축의 교점은 $\displaystyle \mathrm{T}\left(\frac{2t^2+t}{3t+2},0\right)$, 직선 $\displaystyle \ell_3$과 $\displaystyle \ell_4$의 교점은 $\displaystyle \mathrm{Q}(t^2,3t^4-t^2)$이다.Correction. 대학 예시답안과 채점기준의 점 T는 문제에서 정의한 점 V를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서$\displaystyle S(t)=\left|\frac12\left(\frac{2t^2+t}{3t+2}+\frac{2t^2-t}{3t-2}\right)(3t^4-t^2)\right|=\frac{2t^3(3t^2-1)^2}{4-9t^2}$이므로

$\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{S(t)}{t^k}=\lim_{t\to0^+}\frac{2t^3(3t^2-1)^2}{t^k(4-9t^2)}$이다. 위 극한값이 $\displaystyle 0$이 아닌 실숫값으로 존재하기 위한 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle 3$이고 $\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{S(t)}{t^k}=\frac12$이다.

[문제 1-2](1) $\displaystyle p=3$, $\displaystyle q=4$이므로 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle y=20$는 $\displaystyle x\le-1$ 또는 $\displaystyle x\ge7$에서 만난다. 이 구간에서 $\displaystyle g(x)=(x-3)^2-16$이므로$\displaystyle (x-3)^2-16=20\quad\Rightarrow\quad(x-3)^2=36\quad\Rightarrow\quad x=-3\text{ 또는 }x=9$이다.

곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle y=20$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle B$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}B&=\int_{-3}^{-1}(20-((x-3)^2-16))\,dx+\int_{-1}^7(20-(16-(x-3)^2))\,dx+\int_7^9(20-((x-3)^2-16))\,dx\\&=\Biggl[-\frac13x^3+3x^2+27x\Biggr]_{-3}^{-1}+\Biggl[\frac13x^3-3x^2+13x\Biggr]_{-1}^7+\Biggl[-\frac13x^3+3x^2+27x\Biggr]_7^9\\&=\frac{352}3\end{aligned}$이다.

(2) 점 $\displaystyle \mathrm{P}(6,9)$와 점 $\displaystyle (5,0)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=9x-45$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}(6,9)$와 점 $\displaystyle (15,0)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-x+15$이다. 이를 통해 점 $\displaystyle \mathrm{P}(6,9)$를 지나는 직선 중 기울기가 $\displaystyle 9$보다 크거나 $\displaystyle -1$보다 작은 직선과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 교점의 개수는 $\displaystyle 2$인 것을 알 수 있다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}(6,9)$를 지나는 직선 중 직선의 기울기가 $\displaystyle -1$ 이상 $\displaystyle 9$ 이하인 직선과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 교점의 개수는 $\displaystyle 3$ 이상이다.

직선 $\displaystyle y=9x-45$과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 교점은 $\displaystyle (5,0)$, $\displaystyle (6,9)$, $\displaystyle (24,171)$이고, 직선 $\displaystyle y=-x+15$과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 교점은 $\displaystyle (4,11)$, $\displaystyle (6,9)$, $\displaystyle (15,0)$이다. $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표가 모두 정수인 교점을 고려하므로 정수 $\displaystyle x$를 생각하자. $\displaystyle x<4$일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}(6,9)$와 점 $\displaystyle (x,g(x))$를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle -1$보다 작고, $\displaystyle x>24$일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}(6,9)$와 점 $\displaystyle (x,g(x))$를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle 9$보다 크다. 따라서 $\displaystyle 4\le x<6$ 또는 $\displaystyle 6<x\le24$인 경우 교점의 개수가 $\displaystyle 3$ 이상이면서 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표가 모두 정수인 교점의 개수가 $\displaystyle 2$ 이상이다. 이를 만족하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle 20$개다.

$\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표가 모두 정수인 교점의 개수가 $\displaystyle 3$인 직선은 세 점 $\displaystyle (5,0)$, $\displaystyle (6,9)$, $\displaystyle (24,171)$을 지나는 직선 $\displaystyle y=9x-45$와 세 점 $\displaystyle (4,11)$, $\displaystyle (6,9)$, $\displaystyle (15,0)$을 지나는 직선 $\displaystyle y=-x+15$뿐이다. 따라서 중복된 두 직선을 고려하면, <조건>을 만족시키는 직선의 개수는 $\displaystyle 18$이다.

[문제 1-3]함수 $\displaystyle y=m|x|$의 그래프와 함수 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프는 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이다. 함수 $\displaystyle y=m|x|$의 그래프와 함수 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프로 둘러싸인 도형에서 $\displaystyle x\ge0$인 부분의 넓이를 $\displaystyle T(m)$이라 하면 $\displaystyle A(m)=2T(m)$이므로 $\displaystyle T(m)$이 최소일 때 $\displaystyle A(m)$도 최소이다.함수 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프와 $\displaystyle y$축의 교점을 C, 함수 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축의 교점을 D, $\displaystyle 0\le x<2$에서 직선 $\displaystyle y=mx$와 $\displaystyle y=4-2x$의 교점을 P, $\displaystyle x\ge2$에서 직선 $\displaystyle y=mx$와 $\displaystyle y=5x-10$의 교점을 Q라 하자. 점 P의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac4{m+2},\frac{4m}{m+2}\right)$이고 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{10}{5-m},\frac{10m}{5-m}\right)$이다.

$\displaystyle T(m)$은 삼각형 COD의 넓이와 삼각형 ODQ의 넓이의 합에서 삼각형 ODP의 넓이의 2배를 뺀 것과 같으므로$\displaystyle T(m)=4+\frac{10m}{5-m}-\frac{8m}{m+2}$이다.

$\displaystyle T^{\prime}(m)=\frac{50}{(5-m)^2}-\frac{16}{(m+2)^2}=\frac{2(17m^2+180m-100)}{(5-m)^2(m+2)^2}$이고

$\displaystyle T^{\prime}(m)$의 분모는 $\displaystyle 0<m<5$에서 양수이므로, $\displaystyle T(m)$은 $\displaystyle 17m^2+180m-100=0$을 만족하는 $\displaystyle m$에서 최솟값을 갖는다. 따라서$\displaystyle m=\frac{-90+70\sqrt2}{17}$이다.