자연계열 (오후) 2번

아주대 2026학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2026su/jayeon_pm_2

[문항 2] 【제시문】을 읽고 물음에 답하시오.

(가) $\displaystyle 3$ 보다 큰 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여, 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac k2$ 인 원 $\displaystyle C$ 를 생각하자. 양의 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac k2\cos t,\frac k2\sin t\right)$ 는 원 $\displaystyle C$ 위의 점이고, 점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 원 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}\left(\frac k2\cos t+\sin5t,\frac k2\sin t+\cos5t\right)$ , $\displaystyle \mathrm{B}\left(\frac k2\cos t+\cos5t,\frac k2\sin t+\sin5t\right)$ 를 생각하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 의 길이가 최대가 되도록 하는 가장 작은 양의 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 $\displaystyle t_1$ 이라 하자.[그림 1]은 $\displaystyle k=10$ , $\displaystyle t=\frac\pi{10}$ 일 때 원 $\displaystyle C$ 와 점 A, B, P를 나타낸다.

(나) 일반적으로 $\displaystyle a<x<b$ 이고 $\displaystyle c<y<d$ 이면 $\displaystyle a-d<x-y<b-c$ 가 성립한다. 따라서 닫힌구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 모두 증가하고 $\displaystyle f(\beta)<g(\alpha)$ 이면 이 구간의 모든 $\displaystyle x$ 에 대해 $\displaystyle f(x)<g(x)$ 이다.

[문제 2-1] (7점) $\displaystyle k=7$ 일 때, 점 A와 원점 사이의 거리의 최솟값을 $\displaystyle r$ 이라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=r$ 을 만족시키는 $\displaystyle t$ 의 개수를 $\displaystyle m$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=r$ 을 만족시키는 $\displaystyle t$ 의 개수를 $\displaystyle n$ 이라 할 때, $\displaystyle mn$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle 0\le t\le2\pi$ )

[문제 2-2] (18점) $\displaystyle k=10$ , $\displaystyle t=t_1$ 일 때, 직선 AB가 원 $\displaystyle C$ 와 만나는 두 점을 Q, T라 하자. 다음 물음에 답하시오.(1) (8점) $\displaystyle \overline{\mathrm{QT}}^2=a\left(b-\sin\frac3c\pi\right)$ 일 때, $\displaystyle a+b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a,b,c$ 는 자연수이다.)(2) (10점) 삼각형 OQT의 넓이를 $\displaystyle S_1$ , 삼각형 OQT를 포함하는 부채꼴 OQT의 넓이를 $\displaystyle S_2$ 라 할 때, $\displaystyle S_2-S_1$ 의 값을 구하시오.

[문제 2-3] (25점)다음 물음에 답하시오.(1) (10점) 직선 OB의 기울기를 $\displaystyle h(t)$ 라 하자. 함수 $\displaystyle h(t)$ 가 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$ 에서 증가하도록 하는 $\displaystyle 3$ 보다 큰 자연수 $\displaystyle k$ 의 최솟값을 구하시오.(2) (15점) 좌표평면 위를 움직이는 점 B의 좌표 $\displaystyle (x,y)$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 가 $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$ 인 모든 $\displaystyle t$ 에 대해 정의되도록 하는 $\displaystyle 10$ 보다 큰 자연수 $\displaystyle k$ 의 최솟값을 구하시오.

※ 대소 비교에 다음 표를 활용하여도 무방함.

$t$	$\frac{16}{80}\pi$	$\frac{17}{80}\pi$	$\frac{18}{80}\pi$	$\frac{19}{80}\pi$	$\frac{20}{80}\pi$	$\frac{21}{80}\pi$	$\frac{22}{80}\pi$	$\frac{23}{80}\pi$	$\frac{24}{80}\pi$
$\sin t$	0.5878	0.6191	0.6494	0.6788	0.7071	0.7343	0.7604	0.7853	0.8090
$\sin5t$	0	−0.1951	−0.3827	−0.5556	−0.7071	−0.8315	−0.9239	−0.9808	−1
$\cos t$	0.8090	0.7853	0.7604	0.7343	0.7071	0.6788	0.6494	0.6191	0.5878
$\cos5t$	−1	−0.9808	−0.9239	−0.8315	−0.7071	−0.5556	−0.3827	−0.1951	0

해설강의 준비중

아주대 2026학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2026su/jayeon_pm_2

+3점 · (1)

\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}^2

과

\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}^2

를 올바르게 계산

[문제 2-1]삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 $\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{OA}}^2&=\left(\frac72\cos t+\sin5t\right)^2+\left(\frac72\sin t+\cos5t\right)^2\\&=\frac{49}4(\cos^2t+\sin^2t)+(\sin^25t+\cos^25t)+7(\cos t\sin5t+\sin t\cos5t)=\frac{49}4+1+7\sin6t\end{aligned}$

4점 / 각 2점 · (2)

\displaystyle m

\displaystyle n

과 정답을 올바르게 구함

이므로 점 A와 원점 사이의 거리의 최솟값은 $\displaystyle \sin6t=-1$ 일 때 $\displaystyle r=\sqrt{\frac{49}4+1-7}=\frac52$ 이다. 따라서 $\displaystyle t=\frac\pi4$ , $\displaystyle \frac\pi4+\frac\pi3$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle \frac\pi4+\frac53\pi$ 일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=r$ 이므로 $\displaystyle m=6$ 이다. 같은 방식으로 계산하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}^2=\frac{49}4+1+7\cos4t$ 이므로, $\displaystyle \cos4t=-1$ 이 되는 $\displaystyle t=\frac\pi4$ , $\displaystyle \frac\pi4+\frac\pi2$ , $\displaystyle \frac\pi4+\pi$ , $\displaystyle \frac\pi4+\frac32\pi$ 일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=r$ 이고 $\displaystyle n=4$ 이다. 그러므로 $\displaystyle mn=24$ 이다.

+2점 · (1)

\displaystyle t_1

의 값을 올바르게 구함

[문제 2-2](1) 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle (\sin5t-\cos5t)^2=1-(\sin5t\cos5t+\cos5t\sin5t)=1-\sin(5t+5t)=1-\sin10t$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2=2(\sin5t-\cos5t)^2=2(1-\sin10t)$ 이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 의 길이가 최대가 되려면 $\displaystyle \sin10t=-1$ 이어야 한다. 따라서 $\displaystyle t_1=\frac3{20}\pi$ 이고, 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 는 지름이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}(5\cos t_1,5\sin t_1)$ 은 직선 AB 위에 있다.

+2점 · (2)

\displaystyle \angle\mathrm{TOQ}

를 올바르게 구함

점 P는 원 $\displaystyle C$ 위의 점이므로 두 교점 중 한 점의 좌표는 $\displaystyle (5\cos t_1,5\sin t_1)$ 이며, 이 점을 Q라 하자.직선 AB의 기울기 $\displaystyle =\frac{(5\sin t_1+\sin5t_1)-(5\sin t_1+\cos5t_1)}{(5\cos t_1+\cos5t_1)-(5\cos t_1+\sin5t_1)}=-1$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{T}\left(5\cos\left(\frac\pi2-t_1\right),5\sin\left(\frac\pi2-t_1\right)\right)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{TOQ}=\frac\pi5$ 이다.

+4점 · (3) 코사인 법칙을 이용하여 답을 올바르게 구함

삼각형 OQT에 코사인법칙을 적용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{QT}}^2=5^2+5^2-2\times5\times5\cos\frac\pi5=50\left(1-\cos\frac\pi5\right)$ 이다. $\displaystyle \cos\frac\pi5=\sin\left(\frac\pi2-\frac\pi5\right)=\sin\frac3{10}\pi$ 이므로 $\displaystyle a=50$ , $\displaystyle b=1$ , $\displaystyle c=10$ 이다. 그러므로 $\displaystyle a+b+c=61$ 이다.

+5점 · (1)

\displaystyle S_1

을 올바르게 구함

(2) $\displaystyle \overline{\mathrm{OT}}=\overline{\mathrm{OQ}}=5$ 이고 $\displaystyle \angle\mathrm{TOQ}=\frac\pi5$ 이므로, $\displaystyle S_1=\frac12\times5\times5\times\sin\frac\pi5=\frac{25}2\sin\frac\pi5$ ,

+5점 · (2)

\displaystyle S_2

를 올바르게 구함

$\displaystyle S_2=\frac12\times5^2\times\frac\pi5=\frac52\pi$ 이다. 따라서, $\displaystyle S_2-S_1=\frac52\pi-\frac{25}2\sin\frac\pi5$ 이다.

+4점 · (1)

\displaystyle h^{\prime}(t)

를 올바르게 구함

[문제 2-3](1) $\displaystyle \mathrm{B}\left(\frac k2\cos t+\cos5t,\frac k2\sin t+\sin5t\right)$ 를 이용하면 $\displaystyle h(t)=\frac{\frac k2\sin t+\sin5t}{\frac k2\cos t+\cos5t}$ 이다. 몫의 미분법과 삼각함수의 덧셈정리에 의하여 $\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(t)&=\frac{\left(\frac k2\cos t+5\cos5t\right)\left(\frac k2\cos t+\cos5t\right)-\left(\frac k2\sin t+\sin5t\right)\left(-\frac k2\sin t-5\sin5t\right)}{\left(\frac k2\cos t+\cos5t\right)^2}\\&=\frac{\frac{k^2}4+5+3k\cos4t}{\left(\frac k2\cos t+\cos5t\right)^2}\end{aligned}$ 이다.

+4점 · (2) 이차부등식을 풀어서

\displaystyle h^{\prime}(t)\ge0

인 조건을 올바르게 구함

열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$ 에서 $\displaystyle \frac{k^2}4+5+3k\cos4t$ 는 $\displaystyle t=\frac\pi4$ 에서 최솟값 $\displaystyle \frac{k^2}4+5-3k$ 를 갖는다. $\displaystyle k\le2$ 또는 $\displaystyle k\ge10$ 에서 $\displaystyle \frac{k^2}4+5-3k\ge0$ 이며, 이때 함수 $\displaystyle h(t)$ 는 증가한다.

+2점 · (3) 정답을 올바르게 구함

따라서 $\displaystyle 3$ 보다 큰 가장 작은 자연수 $\displaystyle k$ 는 $\displaystyle 10$ 이다.

+3점 · (1) 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여

\displaystyle \frac{dy}{dx}

를 올바르게 구함

(2) 매개변수로 나타낸 함수의 미분법에 따르면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac k2\cos t+5\cos5t}{-\frac k2\sin t-5\sin5t}$ 이다.

+2점 · (2)

\displaystyle \frac{dy}{dx}

가

\displaystyle 0<t<\frac\pi2

에서 정의되기 위한 필요충분조건을 제시함

$\displaystyle g(t)=\frac k2\sin t+5\sin5t$ 라 하자. $\displaystyle k$ 가 $\displaystyle 10$ 보다 큰 자연수이고 문제에 주어진 표를 이용하면 $\displaystyle g\left(\frac\pi5\right)>0$ 임을 알 수 있으므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 가 $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$ 에서 정의되기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle g(t)>0$ 이다. 따라서 $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$ 에서 $\displaystyle g(t)>0$ 또는 $\displaystyle \frac k2\sin t>-5\sin5t$ 임을 보이면 된다.

+4점 · (3)

\displaystyle 10<k\le12

는 성립하지 않음을 관찰

$\displaystyle 10<k\le12$ 인 경우 $\displaystyle \frac k2\sin\frac3{10}\pi\le6\sin\frac3{10}\pi<-5\sin\left(5\times\frac3{10}\pi\right)$ 이므로 $\displaystyle g\left(\frac3{10}\pi\right)<0$ 이다.

+6점 · (4)

\displaystyle k=13

는 성립함을 관찰

$\displaystyle k=13$ 이라 하자. $\displaystyle 0<t\le\frac\pi5$ 이면 $\displaystyle \frac{13}2\sin t>0\ge-5\sin5t$ 이다. 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac\pi5,\frac3{10}\pi\right]$ 에서 $\displaystyle \frac{13}2\sin t$ 와 $\displaystyle -5\sin5t$ 는 증가한다. $\displaystyle -5\sin\left(5\times\frac\pi4\right)<\frac{13}2\sin\frac\pi5,\quad-5\sin\left(5\times\frac{21}{80}\pi\right)<\frac{13}2\sin\frac\pi4,\quad-5\sin\left(5\times\frac{11}{40}\pi\right)<\frac{13}2\sin\frac{21}{80}\pi,$ $\displaystyle -5\sin\left(5\times\frac{23}{80}\pi\right)<\frac{13}2\sin\frac{11}{40}\pi,\quad-5\sin\left(5\times\frac3{10}\pi\right)<\frac{13}2\sin\frac{23}{80}\pi$ 이므로, 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac\pi5,\frac\pi4\right]$ , $\displaystyle \left[\frac\pi4,\frac{21}{80}\pi\right]$ , $\displaystyle \left[\frac{21}{80}\pi,\frac{11}{40}\pi\right]$ , $\displaystyle \left[\frac{11}{40}\pi,\frac{23}{80}\pi\right]$ , $\displaystyle \left[\frac{23}{80}\pi,\frac3{10}\pi\right]$ 에서 모두 $\displaystyle \frac k2\sin t>-5\sin5t$ 이다. $\displaystyle \frac k2\sin\frac3{10}\pi>-5\sin\left(5\times\frac3{10}\pi\right)$ 이고 열린구간 $\displaystyle \left(\frac3{10}\pi,\frac\pi2\right)$ 에서 $\displaystyle \frac{13}2\sin t$ 는 증가하고 $\displaystyle -5\sin5t$ 는 감소하므로 $\displaystyle \frac k2\sin t>-5\sin5t$ 이다. 그러므로 <조건>을 만족하는 $\displaystyle k$ 의 최솟값은 $\displaystyle 13$ 이다.

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