자연계열 (오후) 2번

[문제 2-1]삼각함수의 덧셈정리를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{OA}}^2&=\left(\frac72\cos t+\sin5t\right)^2+\left(\frac72\sin t+\cos5t\right)^2\\&=\frac{49}4(\cos^2t+\sin^2t)+(\sin^25t+\cos^25t)+7(\cos t\sin5t+\sin t\cos5t)=\frac{49}4+1+7\sin6t\end{aligned}$

이므로 점 A와 원점 사이의 거리의 최솟값은 $\displaystyle \sin6t=-1$일 때 $\displaystyle r=\sqrt{\frac{49}4+1-7}=\frac52$이다. 따라서 $\displaystyle t=\frac\pi4$, $\displaystyle \frac\pi4+\frac\pi3$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle \frac\pi4+\frac53\pi$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=r$이므로 $\displaystyle m=6$이다. 같은 방식으로 계산하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}^2\frac{49}4+1+7\cos4t$이므로,Correction. $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}^2$ 뒤에 등호가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \cos4t=-1$이 되는 $\displaystyle t=\frac\pi4$, $\displaystyle \frac\pi4+\frac\pi2$, $\displaystyle \frac\pi4+\pi$, $\displaystyle \frac\pi4+\frac32\pi$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=r$이고 $\displaystyle n=4$이다. 그러므로 $\displaystyle mn=24$이다.

[문제 2-2](1) 실수 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle (\sin5t-\cos5t)^2=1-(\sin5t\cos5t+\cos5t\sin5t)=1-\sin(5t+5t)=1-\sin10t$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2=2(\sin5t-\cos5t)^2=2(1-\sin10t)$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$의 길이가 최대가 되려면 $\displaystyle \sin10t=-1$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle t_1=\frac3{20}\pi$이고, 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$는 지름이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}(5\cos t_1,5\sin t_1)$은 직선 AB 위에 있다.

점 P는 원 $\displaystyle C$ 위의 점이므로 두 교점 중 한 점의 좌표는 $\displaystyle (5\cos t_1,5\sin t_1)$이며, 이 점을 Q라 하자.직선 AB의 기울기 $\displaystyle =\frac{(5\sin t_1+\sin5t_1)-(5\sin t_1+\cos5t_1)}{(5\cos t_1+\cos5t_1)-(5\cos t_1+\sin5t_1)}=-1$이므로 $\displaystyle \mathrm{T}\left(5\cos\left(\frac\pi2-t_1\right),5\sin\left(\frac\pi2-t_1\right)\right)$이다. 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{TOQ}=\frac\pi5$이다.

삼각형 OQT에 코사인법칙을 적용하면$\displaystyle \overline{\mathrm{QT}}^2=5^2+5^2-2\times5\times5\cos\frac\pi5=50\left(1-\cos\frac\pi5\right)$이다. $\displaystyle \cos\frac\pi5=\sin\left(\frac\pi2-\frac\pi5\right)=\sin\frac3{10}\pi$이므로 $\displaystyle a=50$, $\displaystyle b=1$, $\displaystyle c=10$이다. 그러므로 $\displaystyle a+b+c=61$이다.

(2) $\displaystyle \overline{\mathrm{OT}}=\overline{\mathrm{OQ}}=5$이고 $\displaystyle \angle\mathrm{TOQ}=\frac\pi5$이므로, $\displaystyle S_1=\frac12\times5\times5\times\sin\frac\pi5=\frac{25}2\sin\frac\pi5$, $\displaystyle S_2=\frac12\times5^2\times\frac\pi5=\frac52\pi$이다. 따라서, $\displaystyle S_2-S_1=\frac52\pi-\frac{25}2\sin\frac\pi5$이다.

[문제 2-3](1) $\displaystyle \mathrm{B}\left(\frac k2\cos t+\cos5t,\frac k2\sin t+\sin5t\right)$를 이용하면 $\displaystyle h(t)=\frac{\frac k2\sin t+\sin5t}{\frac k2\cos t+\cos5t}$이다. 몫의 미분법과 삼각함수의 덧셈정리에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(t)&=\frac{\left(\frac k2\cos t+5\cos5t\right)\left(\frac k2\cos t+\cos5t\right)-\left(\frac k2\sin t+\sin5t\right)\left(-\frac k2\sin t-5\sin5t\right)}{\left(\frac k2\cos t+\cos5t\right)^2}\\&=\frac{\frac{k^2}4+5+3k\cos4t}{\left(\frac k2\cos t+\cos5t\right)^2}\end{aligned}$이다.

열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에서 $\displaystyle \frac{k^2}4+5+3k\cos4t$는 $\displaystyle t=\frac\pi4$에서 최솟값 $\displaystyle \frac{k^2}4+5-3k$를 갖는다. $\displaystyle k\le2$ 또는 $\displaystyle k\ge10$에서 $\displaystyle \frac{k^2}4+5-3k\ge0$이며, 이때 함수 $\displaystyle h(t)$는 증가한다.

따라서 $\displaystyle 3$보다 큰 가장 작은 자연수 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 10$이다.

(2) 매개변수로 나타낸 함수의 미분법에 따르면$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac k2\cos t+5\cos5t}{-\frac k2\sin t-5\sin5t}$이다.

$\displaystyle g(t)=\frac k2\sin t+5\sin5t$라 하자. $\displaystyle k$가 $\displaystyle 10$보다 큰 자연수이고 문제에 주어진 표를 이용하면 $\displaystyle g\left(\frac\pi5\right)>0$임을 알 수 있으므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$가 $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$에서 정의되기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle g(t)>0$이다. 따라서 $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$에서 $\displaystyle g(t)>0$ 또는 $\displaystyle \frac k2\sin t>-5\sin5t$임을 보이면 된다.

$\displaystyle 10<k\le12$인 경우$\displaystyle \frac k2\sin\frac3{10}\pi\le6\sin\frac3{10}\pi<-5\sin\left(5\times\frac3{10}\pi\right)$이므로 $\displaystyle g\left(\frac3{10}\pi\right)<0$이다.

$\displaystyle k=13$이라 하자. $\displaystyle 0<t\le\frac\pi5$이면 $\displaystyle \frac{13}2\sin t>0\ge-5\sin5t$이다. 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac\pi5,\frac3{10}\pi\right]$에서 $\displaystyle \frac{13}2\sin t$와 $\displaystyle -5\sin5t$는 증가한다.$\displaystyle -5\sin\left(5\times\frac\pi4\right)<\frac{13}2\sin\frac\pi5,\quad-5\sin\left(5\times\frac{21}{80}\pi\right)<\frac{13}2\sin\frac\pi4,\quad-5\sin\left(5\times\frac{11}{40}\pi\right)<\frac{13}2\sin\frac{21}{80}\pi,$$\displaystyle -5\sin\left(5\times\frac{23}{80}\pi\right)<\frac{13}2\sin\frac{11}{40}\pi,\quad-5\sin\left(5\times\frac3{10}\pi\right)<\frac{13}2\sin\frac{23}{80}\pi$이므로, 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac\pi5,\frac\pi4\right]$, $\displaystyle \left[\frac\pi4,\frac{21}{80}\pi\right]$, $\displaystyle \left[\frac{21}{80}\pi,\frac{11}{40}\pi\right]$, $\displaystyle \left[\frac{11}{40}\pi,\frac{23}{80}\pi\right]$, $\displaystyle \left[\frac{23}{80}\pi,\frac3{10}\pi\right]$에서 모두 $\displaystyle \frac k2\sin t>-5\sin5t$이다. $\displaystyle \frac k2\sin\frac3{10}\pi>-5\sin\left(5\times\frac3{10}\pi\right)$이고 열린구간 $\displaystyle \left(\frac3{10}\pi,\frac\pi2\right)$에서 $\displaystyle \frac{13}2\sin t$는 증가하고 $\displaystyle -5\sin5t$는 감소하므로 $\displaystyle \frac k2\sin t>-5\sin5t$이다. 그러므로 <조건>을 만족하는 $\displaystyle k$의 최솟값은 $\displaystyle 13$이다.