약학과 1번

[문제 1-1](1) $\displaystyle y^{\prime}=x$이므로, $\displaystyle a=3$일 때 $\displaystyle l_1$의 기울기는 $\displaystyle 3$이고 $\displaystyle l_2$의 기울기는 $\displaystyle b$이다. 따라서 $\displaystyle L_1$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac13x+\frac{11}2$이고 $\displaystyle L_2$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac1b x+\frac{b^2}2+1$이다. 직선 $\displaystyle L_1$과 $\displaystyle L_2$의 교점 P의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle x=-\frac{3b}2(b+3)$이다.

따라서,$\displaystyle y=\frac{11}2-\frac13x=\frac{11}2+\frac b2(b+3)=\frac{11+b^2+3b}2>\frac{29}2\qquad(b>a=3)$이다.

그러므로, $\displaystyle \gamma=\frac{29}2$이다.

(2) 직선 $\displaystyle L_1$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac1a x+\frac12a^2+1$이다. 점 H는 곡선 $\displaystyle y=\frac12x^2$과 직선 $\displaystyle L_1$의 교점 중 점 A가 아닌 점이므로, 점 H의 $\displaystyle x$좌표는 방정식 $\displaystyle \frac12x^2=-\frac1a x+\frac12a^2+1$의 해이다. $\displaystyle x\ne a$이므로 점 H의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle x=-a-\frac2a\quad\cdots\text{㉠}$이다.

곡선 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}\left(q,\frac12q^2\right)\ \left(-a-\frac2a<q<a\right)$에 대하여, 점 Q와 직선 $\displaystyle L_1$ 사이의 거리는$\displaystyle d=\frac{\left|\frac qa+\frac12q^2-\frac12a^2-1\right|}{\sqrt{\left(\frac1a\right)^2+1}}=\frac{\left|\frac a2(q-a)\left(q+a+\frac2a\right)\right|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{-\frac a2(q-a)\left(q+a+\frac2a\right)}{\sqrt{a^2+1}}$이다. $\displaystyle f(q)=-\frac a2(q-a)\left(q+a+\frac2a\right)$라 하자. 그러면 각 양수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle f(q)$가 최대일 때 거리 $\displaystyle d$가 최댓값을 가진다. $\displaystyle f^{\prime}(q)=-aq-1$이므로 $\displaystyle q=-\frac1a$에서 극댓값을 가진다.

따라서 점 Q와 직선 $\displaystyle L_1$ 사이의 거리는 $\displaystyle q=-\frac1a$일 때 최댓값$\displaystyle d=\frac{\frac a2\left(a+\frac1a\right)^2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{(a^2+1)\sqrt{a^2+1}}{2a}$을 가진다.

(3) 점 P의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle t\ (<0)$이라 하자. ㉠에 의해 점 A에 대해 $\displaystyle t=-a-\frac2a$, 점 B에 대해 $\displaystyle t=-b-\frac2b$를 얻는다.

이로부터 $\displaystyle a+\frac2a=b+\frac2b$이고, 이를 통분하여 정리하면$\displaystyle \frac{(b-a)(ab-2)}{ab}=0$이다. $\displaystyle 0<a<b$이므로 $\displaystyle ab=2$, 즉 $\displaystyle b=\frac2a$이고,

$\displaystyle a^2<ab=2$이므로 $\displaystyle 0<a<\sqrt2$이다.

[문제 1-2](1) 두 점 A, B를 지나는 직선은 기울기가 $\displaystyle \frac32$이고 선분 AB의 중점이 $\displaystyle \left(\frac32,\frac54\right)$이므로, 선분 AB의 수직이등분선 $\displaystyle m_1$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac23x+\frac94$이다. 또한, 두 점 A, P를 지나는 직선은 기울기가 $\displaystyle -1$이고 선분 AP의 중점이 $\displaystyle \left(-1,\frac52\right)$이므로, 선분 AP의 수직이등분선 $\displaystyle m_2$의 방정식은 $\displaystyle y=x+\frac72$이다. 두 직선 $\displaystyle m_1$, $\displaystyle m_2$의 교점 $\displaystyle \left(-\frac34,\frac{11}4\right)$은 원 $\displaystyle C$의 중심이다.

반지름의 길이는 $\displaystyle \left(-\frac34,\frac{11}4\right)$과 점 B 사이의 거리이며 $\displaystyle \frac{\sqrt{130}}4$이다.

따라서 원 $\displaystyle C$의 방정식은$\displaystyle \left(x+\frac34\right)^2+\left(y-\frac{11}4\right)^2=\frac{65}8$이다.

(2)① 넓이 $\displaystyle S_1$ 구하기점 P에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-\left(a+\frac2a\right)x-\frac12\left(a+\frac2a\right)^2$이므로 점 R의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=-\frac12\left(a+\frac2a\right)$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}S_1&=\int_{-\left(a+\frac2a\right)}^{-\frac12\left(a+\frac2a\right)}\left[\frac12x^2+\left(a+\frac2a\right)x+\frac12\left(a+\frac2a\right)^2\right]\,dx+\int_{-\frac12\left(a+\frac2a\right)}^0\frac12x^2\,dx\\&=\Biggl[\frac16x^3+\frac12\left(a+\frac2a\right)x^2+\frac12\left(a+\frac2a\right)^2x\Biggr]_{-\left(a+\frac2a\right)}^{-\frac12\left(a+\frac2a\right)}+\Biggl[\frac16x^3\Biggr]_{-\frac12\left(a+\frac2a\right)}^0=\frac1{24}\left(a+\frac2a\right)^3\end{aligned}$이다.

② 넓이 $\displaystyle S_2$ 구하기직선 $\displaystyle x=a$와 직선 $\displaystyle L_2$의 교점을 E라 하면, 점 E의 좌표는 $\displaystyle \left(a,-\frac{a^2}2+\frac2{a^2}+1\right)$이다.(삼각형 PAE의 넓이) $\displaystyle =\frac12\times\left(-a^2+\frac2{a^2}+1\right)\times\left(a+a+\frac2a\right)=\frac3a+\frac2{a^3}-a^3$이고$\displaystyle \begin{aligned}(a\le x\le\frac2a\text{에서 직선 }L_2\text{와 곡선으로 둘러싸인 넓이})&=\int_a^{\frac2a}\left(\frac2{a^2}+1-\frac a2x-\frac12x^2\right)\,dx\\&=\Biggl[\left(\frac2{a^2}+1\right)x-\frac a4x^2-\frac16x^3\Biggr]_a^{\frac2a}\\&=\frac8{3a^3}+\frac5{12}a^3-a-\frac1a\end{aligned}$이므로$\displaystyle S_2=\left(\frac3a+\frac2{a^3}-a^3\right)+\left(\frac8{3a^3}+\frac5{12}a^3-a-\frac1a\right)=\frac{14}{3a^3}-\frac7{12}a^3-a+\frac2a$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{S_2}{S_1}=\lim_{a\to0^+}\frac{\frac{14}{3a^3}-\frac7{12}a^3-a+\frac2a}{\frac1{24}\left(a+\frac2a\right)^3}=14$이다.