약학과 2번

[문제 2-1](1) 정수 $\displaystyle k$에 대하여$\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x^2+16(x-4k),&4k-1\le x<4k+1\\2x^2-16(x-4k)+32,&4k+1\le x<4k+3\end{cases}$이다. 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 원점을 지난다. 각 열린구간 $\displaystyle (4k-1,4k+1)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x+16$이므로 $\displaystyle x=-4$에서 극소이다. 즉, $\displaystyle k=-1$일 때 열린구간 $\displaystyle (-5,-3)$에서만 극소를 갖고 $\displaystyle k<-1$인 구간에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 감소하며 $\displaystyle k>-1$인 구간에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가한다. 같은 방법으로 각 열린구간 $\displaystyle (4k+1,4k+3)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x-16$이므로 $\displaystyle x=4$에서 극소이다. 이 경우 $\displaystyle x=4$를 포함하는 구간이 없으므로, $\displaystyle k<1$인 구간에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 감소하며 $\displaystyle k\ge1$인 구간에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가한다. 따라서 $\displaystyle x<-5$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 감소하고 $\displaystyle x>3$이면 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가한다. $\displaystyle k=-1$과 $\displaystyle k=0$의 경우만 살펴보면 충분하다.함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 [그림 가]와 같다.

따라서 직선 $\displaystyle y=q$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 교점의 개수는 다음 표와 같다.

따라서 $\displaystyle 2<q<18$과 $\displaystyle 32<q<34$에서 교점의 개수가 최대이다. 이를 만족시키는 정수 $\displaystyle q$의 값의 합은 $\displaystyle 183$이다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$이 수렴하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=0$이므로 $\displaystyle 0=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}(a_n-r)=2-r$이다. 따라서 $\displaystyle r=2$이다.

(2)의 $\displaystyle a_n$에 의하여 $\displaystyle n\ge11$이면 $\displaystyle b_n=0$이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{10}b_n=\sum_{n=1}^{10}(a_n-2)=9$이다.

[문제 2-2]정수 $\displaystyle k$에 대하여$\displaystyle f(x)=\begin{cases}ax^2+3\left(x-\frac{4k}3\right),&\frac{4k-1}3\le x<\frac{4k+1}3\\ax^2-3\left(x-\frac{4k}3\right)+2,&\frac{4k+1}3\le x<\frac{4k+3}3\end{cases}$이다. 닫힌구간 $\displaystyle \left[-1,-\frac13\right]$에서 $\displaystyle f(x)=ax^2-3x-2$이므로 $\displaystyle f(-1)=a+1>0$이고 이 구간에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 감소한다. 닫힌구간 $\displaystyle \left[-\frac13,\frac13\right]$에서 함수 $\displaystyle f(x)=ax^2+3x$이므로 $\displaystyle a$의 값에 따라 닫힌구간 $\displaystyle \left[-1,\frac13\right]$에서 가능한 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 개형은 두 가지 뿐이다. ([그림 나])

따라서 모든 양의 실수 $\displaystyle p$에 대하여 직선 $\displaystyle y=p$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 교점의 개수가 $\displaystyle 2$가 되려면 $\displaystyle x\le-1$에서 함수 $\displaystyle f(x)$가 감소하고 $\displaystyle x\ge\frac13$에서 함수 $\displaystyle f(x)$가 증가해야 한다. [문제 2-1]의 (1)과 같은 방법으로 함수의 증가와 감소를 조사하면 각 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{4k-1}3,\frac{4k+1}3\right)$에 대하여 $\displaystyle x\le-\frac3{2a}$이면 함수 $\displaystyle f(x)$는 감소하고 $\displaystyle x\ge-\frac3{2a}$이면 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가한다.

또한 각 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{4k+1}3,\frac{4k+3}3\right)$에 대하여 $\displaystyle x\le\frac3{2a}$이면 함수 $\displaystyle f(x)$는 감소하고 $\displaystyle x\ge\frac3{2a}$이면 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가한다.

그러므로 $\displaystyle -\frac3{2a}\ge-1$이고 $\displaystyle \frac3{2a}\le\frac13$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac92$이다.

[문제 2-3]$\displaystyle f(0)=0$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=cx$는 원점에서 만난다. $\displaystyle x\ne0$이면 방정식 $\displaystyle f(x)=cx$와 $\displaystyle \frac{f(x)}x=c$는 같은 해를 가지므로, 함수 $\displaystyle y=\frac{f(x)}x$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=c$의 교점의 개수를 생각하면 된다.

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2+2(x-2k),&\frac{4k-1}2\le x<\frac{4k+1}2\\x^2-2(x-2k)+2,&\frac{4k+1}2\le x<\frac{4k+3}2\end{cases}$이므로$\displaystyle \frac{f(x)}x=\begin{cases}x+2-\frac{4k}x,&\frac{4k-1}2\le x<\frac{4k+1}2\\x-2+\frac{4k+2}x,&\frac{4k+1}2\le x<\frac{4k+3}2\end{cases}\quad(x\ne0)$이다. $\displaystyle (-\infty,0)\cup(0,\infty)$에서 $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}x$라 하면$\displaystyle g^{\prime}(x)=\begin{cases}1+\frac{4k}{x^2},&\frac{4k-1}2<x<\frac{4k+1}2\\1-\frac{4k+2}{x^2},&\frac{4k+1}2<x<\frac{4k+3}2\end{cases}\quad(x\ne0)$이므로 함수 $\displaystyle g(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle c<-\frac{13}6$, $\displaystyle -2<c<2\sqrt2-2$, $\displaystyle c>\frac52$에서 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle y=c$의 교점은 $\displaystyle 1$개이다. 그러므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=cx$의 교점의 개수는 원점을 포함하여 $\displaystyle c<-\frac{13}6$, $\displaystyle -2<c<2\sqrt2-2$, $\displaystyle c>\frac52$에서 $\displaystyle 2$개가 된다.