자연계열 2번

[문제 2-1](1) 점 B의 좌표가 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{10}}2,0\right)$이고 점 A는 직선 $\displaystyle \ell_1$과 $\displaystyle y$축의 교점이므로 직선 $\displaystyle \ell_1$의 기울기 $\displaystyle f(t)$가 $\displaystyle -3$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=5$임을 알 수 있다. $\displaystyle 0\le t\le2$인 실수 $\displaystyle t$에서 $\displaystyle -\frac14t-2>-3$이므로 $\displaystyle -\frac52+\sin2\pi t=-3$을 만족시키는 $\displaystyle t$의 값을 $\displaystyle 2<t\le4$ 범위에서 모두 구하면 된다.

따라서 $\displaystyle t=\frac{31}{12}$, $\displaystyle t=\frac{35}{12}$, $\displaystyle t=\frac{43}{12}$, $\displaystyle t=\frac{47}{12}$이다.

(2) 각 ABP의 크기를 $\displaystyle \beta$라 하자. $\displaystyle t=0$일 때, 점 A, B, P의 좌표는 각각 $\displaystyle (0,2\sqrt5)$, $\displaystyle (\sqrt5,0)$, $\displaystyle \left(\sqrt5+\frac s{\sqrt{17}},\frac{4s}{\sqrt{17}}\right)$이므로

$\displaystyle \tan\beta=\frac{(-2)-4}{1+(-2)\times4}=\frac67,$$\displaystyle \sin\beta=\frac6{\sqrt{85}},$$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\sqrt{\left(\sqrt5+\frac s{\sqrt{17}}\right)^2+\left(2\sqrt5-\frac{4s}{\sqrt{17}}\right)^2}$임을 알 수 있다.

사인법칙에 의해$\displaystyle R=\frac{\overline{\mathrm{AP}}}{2\sin\beta}=\frac{\sqrt{85}}{12}\sqrt{\left(\sqrt5+\frac s{\sqrt{17}}\right)^2+\left(2\sqrt5-\frac{4s}{\sqrt{17}}\right)^2}$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{s\to0^+}R=\frac{\sqrt{85}}{12}\lim_{s\to0^+}\sqrt{\left(\sqrt5+\frac s{\sqrt{17}}\right)^2+\left(2\sqrt5-\frac{4s}{\sqrt{17}}\right)^2}=\frac{5\sqrt{85}}{12}$이다.

① $\displaystyle 0\le t\le2$인 경우$\displaystyle \tan\beta=\frac{\left(-\frac14t-2\right)-4}{1+\left(-\frac14t-2\right)\times4}=\frac14\left(1+\frac{17}{t+7}\right)$이다. 닫힌구간 $\displaystyle [0,2]$에서$\displaystyle \frac14\left(1+\frac{17}{t+7}\right)\ge\frac14\left(1+\frac{17}{2+7}\right)=\frac{13}{18}$이므로 $\displaystyle \tan\beta\ge\frac{13}{18}$이다.

② $\displaystyle 2<t\le3$인 경우$\displaystyle \tan\beta=\frac{\left(-\frac52+\sin2\pi t\right)-4}{1+\left(-\frac52+\sin2\pi t\right)\times4}=\frac14\left(1+\frac{17}{9-4\sin2\pi t}\right)$이고$\displaystyle 4\sin2\pi t\ge4\sin\left(2\pi\times\frac{11}4\right)=-4$이므로 $\displaystyle \tan\beta\ge\frac{15}{26}$이다.

③ $\displaystyle 3<t\le4$인 경우$\displaystyle \tan\beta=\frac{\left(-\frac52\right)-4}{1+\left(-\frac52+\sin2\pi t\right)\times(4+\sin2\pi t)}=\frac{\frac{13}2}{-\sin^22\pi t-\frac32\sin2\pi t+9}$이고$\displaystyle -\sin^22\pi t-\frac32\sin2\pi t+9=-\left(\sin2\pi t+\frac34\right)^2+\frac{153}{16}\le\frac{153}{16}$이므로 $\displaystyle \tan\beta\ge\frac{104}{153}$이다.

①, ②, ③으로부터 $\displaystyle \tan\beta>0$이므로 $\displaystyle \beta$는 예각임을 알 수 있다. 각 ABP의 크기 $\displaystyle \beta$의 최솟값이 $\displaystyle \theta$이므로 $\displaystyle \tan\theta=\frac{15}{26}$이다.

[문제 2-2](1) 점 $\displaystyle (0,-5)$를 지나고 기울기 $\displaystyle m$이 $\displaystyle 2$, $\displaystyle 5\sqrt3-8$인 직선을 각각 $\displaystyle L_1$, $\displaystyle L_2$라 하자. 두 직선이 이루는 예각의 크기를 $\displaystyle \alpha$라 하면$\displaystyle \tan\alpha=\frac{2-(5\sqrt3-8)}{1+2(5\sqrt3-8)}=\frac{2-\sqrt3}{2\sqrt3-3}=\frac{\sqrt3}3$이다.

따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{Q}_1\mathrm{OQ}_2=\frac\pi3$이고 호의 길이는 $\displaystyle 5\times\frac\pi3=\frac53\pi$이다.

(2) 점 $\displaystyle (0,-5)$를 지나고 기울기 $\displaystyle m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=mx-5$이므로 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{10m}{1+m^2},\frac{5(m^2-1)}{1+m^2}\right)$이다. 원 $\displaystyle C$ 위의 점 Q에서의 접선의 방정식은$\displaystyle \frac{10m}{1+m^2}x+\frac{5(m^2-1)}{1+m^2}y=25$이고,

$\displaystyle S(m)=\frac12\times\frac{5(1+m^2)}{2m}\times\frac{5(1+m^2)}{m^2-1}=\frac{25(m^2+1)^2}{4m(m^2-1)}$Comment. 구하는 극한값에는 영향이 없지만, 이 넓이식은 $\displaystyle m>1$일 때 성립한다. $\displaystyle 0<m<1$까지 포함하면 분모의 $\displaystyle m^2-1$에 절댓값을 붙여야 한다.이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{S(m)}{m^\alpha}$이 $\displaystyle 0$이 아닌 실수로 존재하기 위한 $\displaystyle \alpha$의 값은 $\displaystyle 1$이고 이때의 극한값은 $\displaystyle \frac{25}4$이다.