자연계열 (오후) 1번

아주대 2026학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2026su/jayeon_pm_1

[문항 1] 【제시문】을 읽고 물음에 답하시오.

(가) $\displaystyle 8$ 이상의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 원 $\displaystyle C$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2,\cdots,\mathrm{P}_n$ 을 생각하자. 이때 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 의 좌표는 $\displaystyle (0,1)$ 이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2,\cdots,\mathrm{P}_n,\mathrm{P}_1$ 을 차례로 이어서 만든 도형은 정 $\displaystyle n$ 각형을 이룬다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 과 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 를 지나는 직선을 $\displaystyle L_1$ , 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 과 $\displaystyle \mathrm{P}_3$ 을 지나는 직선을 $\displaystyle L_2$ , 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 과 $\displaystyle \mathrm{P}_4$ 를 지나는 직선을 $\displaystyle L_3$ 이라 하자. 이때 원점에서 직선 $\displaystyle L_1$ , $\displaystyle L_2$ , $\displaystyle L_3$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{H}_1$ , $\displaystyle \mathrm{H}_2$ , $\displaystyle \mathrm{H}_3$ 이라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 과 $\displaystyle \mathrm{P}_4$ 를 지나는 직선을 $\displaystyle \ell_1$ , 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 와 $\displaystyle \mathrm{P}_5$ 를 지나는 직선을 $\displaystyle \ell_2$ , 점 $\displaystyle \mathrm{P}_3$ 과 $\displaystyle \mathrm{P}_6$ 을 지나는 직선을 $\displaystyle \ell_3$ 이라 하자. 직선 $\displaystyle \ell_1$ 과 $\displaystyle \ell_2$ 의 교점을 A, 직선 $\displaystyle \ell_1$ 과 $\displaystyle \ell_3$ 의 교점을 B라 하자. [그림 1]과 [그림 2]는 $\displaystyle n=8$ 일 때를 나타낸다.

정팔각형의 꼭짓점과 수선의 발 H₁, H₂, H₃ 및 직선의 교점 A, B

(나) $\displaystyle 3$ 이상의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 점 $\displaystyle \left(\frac jn,0\right)$ 과 점 $\displaystyle \left(0,\frac{n-j}n\right)$ 를 지나는 직선을 $\displaystyle m_j$ 라 하자. (단, $\displaystyle j$ 는 $\displaystyle n$ 보다 작은 자연수이다.) 직선 $\displaystyle m_1$ 과 $\displaystyle x$ 축 및 $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle s_1$ , 직선 $\displaystyle m_{i-1}$ 과 $\displaystyle m_i$ 및 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle s_i$ 라 하자. (단, $\displaystyle i=2,\cdots,n-1$ )[그림 3]은 $\displaystyle n=8$ 일 때를 나타낸다.

[문제 1-1] (25점)제시문 (가)에 대한 다음 물음에 답하시오.(1) (5점) $\displaystyle n=8$ 일 때, 세 점 $\displaystyle \mathrm{H}_1$ , $\displaystyle \mathrm{H}_2$ , $\displaystyle \mathrm{H}_3$ 을 지나는 원의 방정식을 구하시오.(2) (8점) $\displaystyle n=10$ 일 때, 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 점 $\displaystyle \left(0,1-3\left(\frac29\right)^k\right)$ 에서 세 직선 $\displaystyle L_1$ , $\displaystyle L_2$ , $\displaystyle L_3$ 에 내린 수선의 발을 모두 지나는 원의 넓이를 $\displaystyle S_k$ 라 할 때 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}S_k$ 를 조사하시오.(3) (12점) $\displaystyle n=12$ 일 때, 사각형 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{ABP}_3$ 의 넓이를 구하시오.

[문제 1-2] (25점)제시문 (나)에 대한 다음 물음에 답하시오.(1) (10점) $\displaystyle n=16$ 일 때, 직선 $\displaystyle m_8$ 과 직선 $\displaystyle m_j\ (j=1,\cdots,7,9,\cdots,15)$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표를 각각 $\displaystyle p_j$ 라 하자. $\displaystyle \sum_{j=1}^7p_j+\sum_{j=9}^{15}p_j$ 의 값을 구하시오.(2) (15점) $\displaystyle 3$ 이상의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle T_n=\sum_{j=1}^{n-1}s_j$ 라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n$ 을 조사하시오.

해설강의 준비중

아주대 2026학년도 수시 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2026su/jayeon_pm_1

+3점 · (1) 점

\displaystyle \mathrm{H}_1

\displaystyle \mathrm{H}_2

\displaystyle \mathrm{H}_3

은 지름이

\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}

인 원 위에 있음을 관찰

[문제 1-1](1) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OH}_1\mathrm{P}_1$ , $\displaystyle \mathrm{OH}_2\mathrm{P}_1$ , $\displaystyle \mathrm{OH}_3\mathrm{P}_1$ 은 모두 빗변이 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}$ 인 직각삼각형이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{H}_1$ , $\displaystyle \mathrm{H}_2$ , $\displaystyle \mathrm{H}_3$ 은 지름이 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}$ 인 원 위에 있다.

+2점 · (2) 원의 방정식을 올바르게 구함

따라서 구하는 원의 방정식은 $\displaystyle x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14$ 이다.

+2점 · (1) 원의 지름이

\displaystyle \overline{\mathrm{QP}_1}

임을 관찰

(2) 점 Q의 좌표를 $\displaystyle \left(0,1-3\left(\frac29\right)^k\right)$ 라 하자. [문제 1-1]의 (1)과 같은 방법으로 점 Q에서 직선 $\displaystyle L_1$ , $\displaystyle L_2$ , $\displaystyle L_3$ 에 내린 수선의 발을 지나는 원은 지름이 $\displaystyle \overline{\mathrm{QP}_1}$ 인 원이다.

+3점 · (2)

\displaystyle S_k

를 올바르게 구함

따라서 $\displaystyle S_k=\pi\left(\frac12\times3\left(\frac29\right)^k\right)^2=\frac94\left(\frac4{81}\right)^k\pi$ 이므로

+3점 · (3) 등비급수의 합을 올바르게 구함

등비급수의 합의 공식에 의해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}S_k=\frac{\frac19\pi}{1-\frac4{81}}=\frac9{77}\pi$ 이다.

+4점 · (1)

\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}

와

\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}

를 올바르게 구함

+2점 · (2) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여

\displaystyle \sin\frac\pi{12}

를 올바르게 계산

6점 / 각 3점 · (3)

\displaystyle T_1

과

\displaystyle T_2

를 구하여 답을 올바르게 계산

(3) 점 A의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt3}2,\frac{\sqrt3-1}2\right)$ 이므로 원점, 점 A, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_3$ 는 한 직선 위에 있다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{AP}_3$ 의 넓이 $\displaystyle T_1$ 은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_3\mathrm{P}_2$ 의 넓이에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAP}_2$ 의 넓이를 뺀 것과 같다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=\sqrt3-1$ 이므로

$\displaystyle T_1=\frac12\sin\frac\pi6-\frac12(\sqrt3-1)\sin\frac\pi6=\frac14(2-\sqrt3)$ 이다.

점 B의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{3+\sqrt3}6,\frac{3-\sqrt3}6\right)$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=\frac{\sqrt6}3$ 이다.

삼각함수의 덧셈정리에 의하여 $\displaystyle \sin\frac\pi{12}=\sin\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ 이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABP}_3$ 의 넓이 $\displaystyle T_2$ 는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OBP}_3$ 의 넓이에서 삼각형 OBA의 넓이를 뺀 것과 같으므로 $\displaystyle T_2=\frac12\frac{\sqrt6}3\sin\frac\pi{12}-\frac12\frac{\sqrt6}3(\sqrt3-1)\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6}6\cdot\frac{\sqrt6-\sqrt2}4(2-\sqrt3)=\frac{9-5\sqrt3}{12}$ 이다. 사각형 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{ABP}_3$ 의 넓이는 $\displaystyle T_1$ 과 $\displaystyle T_2$ 의 합이므로 $\displaystyle \frac{15-8\sqrt3}{12}$ 이다.

+4점 · (1)

\displaystyle 1\le j\le7

일 때

\displaystyle p_j

를 구함

[문제 1-2](1) 직선 $\displaystyle m_8$ 과 $\displaystyle m_j$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle p_j$ 라 하자. 직선 $\displaystyle m_8$ 의 방정식은 $\displaystyle x+y=\frac12$ , $\displaystyle 1\le k\le7$ 인 자연수 $\displaystyle k$ 에 대해 직선 $\displaystyle m_{8-k}$ 의 방정식은 $\displaystyle \frac1{8-k}x+\frac1{8+k}y=\frac1{16}$ , 직선 $\displaystyle m_{8+k}$ 의 방정식은 $\displaystyle \frac1{8+k}x+\frac1{8-k}y=\frac1{16}$ 이다. 이로부터 $\displaystyle p_{8-k}=\frac{8-k}{32}$ 이고

+4점 · (2)

\displaystyle 9\le j\le15

일 때

\displaystyle p_j

를 구함

$\displaystyle p_{8+k}=\frac{8+k}{32}$ 이다.

+2점 · (3) 답을 올바르게 계산함

따라서 $\displaystyle p_{8-k}+p_{8+k}=\frac12$ 이므로 모든 교점의 $\displaystyle x$ 좌표의 합은 $\displaystyle (p_1+\cdots+p_7)+(p_9+\cdots+p_{15})=(p_1+p_{15})+(p_2+p_{14})+\cdots+(p_7+p_9)=\frac72$ 이다.

+4점 · (2) 교점의

\displaystyle y

좌표를 올바르게 계산

(2) 직선 $\displaystyle m_i$ 와 $\displaystyle m_{i-1}$ 의 교점은 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases}\frac1i x+\frac1{n-i}y=\frac1n\\\frac1{i-1}x+\frac1{n-i+1}y=\frac1n\end{cases}$ 의 해이므로 교점의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle \frac{(n-i+1)(n-i)}{n^2}$ 이다.

+2점 · (1)

\displaystyle s_1

을 올바르게 계산

+6점 · (3)

\displaystyle T_n

의 식을 올바르게 구함

구하는 도형의 넓이는 $\displaystyle \begin{aligned}T_n&=\frac1{2n}\frac{n-1}n+\sum_{i=2}^{n-1}\frac1{2n}\frac{(n-i+1)(n-i)}{n^2}\\&=\frac{n-1}{2n^2}+\frac1{2n^3}\left(\sum_{i=1}^{n-1}(n^2-2ni+i^2+n-i)-(n^2-n)\right)\\&=\frac{n-1}{2n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{6n^3}\end{aligned}$ 이다.

+3점 · (4) 극한을 올바르게 계산함

따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n=\frac16$ 이다.

사인법칙 이용한 풀이?[채점 기준](1) $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}$ 를 올바르게 구함 [4점](2) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 $\displaystyle \sin\frac5{12}\pi$ 를 올바르게 계산 [2점](3) $\displaystyle T_1$ 과 $\displaystyle T_2$ 를 구하여 답을 올바르게 계산함 [6점 / 각 3점]

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