자연계열 (오후) 1번

[문제 1-1](1) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OH}_1\mathrm{P}_1$, $\displaystyle \mathrm{OH}_2\mathrm{P}_1$, $\displaystyle \mathrm{OH}_3\mathrm{P}_1$은 모두 빗변이 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}$인 직각삼각형이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{H}_1$, $\displaystyle \mathrm{H}_2$, $\displaystyle \mathrm{H}_3$은 지름이 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}$인 원 위에 있다.

따라서 구하는 원의 방정식은$\displaystyle x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14$이다.

(2) 점 Q의 좌표를 $\displaystyle \left(0,1-3\left(\frac29\right)^k\right)$라 하자. [문제 1-1]의 (1)과 같은 방법으로 점 Q에서 직선 $\displaystyle L_1$, $\displaystyle L_2$, $\displaystyle L_3$에 내린 수선의 발을 지나는 원은 지름이 $\displaystyle \overline{\mathrm{QP}_1}$인 원이다.

따라서$\displaystyle S_k=\pi\left(\frac12\times3\left(\frac29\right)^k\right)^2=\frac94\left(\frac4{81}\right)^k\pi$이므로

등비급수의 합의 공식에 의해$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}S_k=\frac{\frac19\pi}{1-\frac4{81}}=\frac9{77}\pi$이다.

(3) 점 A의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt3}2,\frac{\sqrt3-1}2\right)$이므로 원점, 점 A, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_3$는 한 직선 위에 있다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{AP}_3$의 넓이 $\displaystyle T_1$은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_3\mathrm{P}_2$의 넓이에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAP}_2$의 넓이를 뺀 것과 같다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=\sqrt3-1$이므로

$\displaystyle T_1=\frac12\sin\frac\pi6-\frac12(\sqrt3-1)\sin\frac\pi6=\frac14(2-\sqrt3)$이다.

삼각함수의 덧셈정리에 의하여$\displaystyle \sin\frac\pi{12}=\sin\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABP}_3$의 넓이 $\displaystyle T_2$는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OBP}_3$의 넓이에서 삼각형 OBA의 넓이를 뺀 것과 같으므로$\displaystyle T_2=\frac12\frac{\sqrt6}3\sin\frac\pi{12}-\frac12\frac{\sqrt6}3(\sqrt3-1)\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6}6\cdot\frac{\sqrt6-\sqrt2}4(2-\sqrt3)=\frac{9-5\sqrt3}{12}$이다. 사각형 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{ABP}_3$의 넓이는 $\displaystyle T_1$과 $\displaystyle T_2$의 합이므로 $\displaystyle \frac{15-8\sqrt3}{12}$이다.

[문제 1-2](1) 직선 $\displaystyle m_8$과 $\displaystyle m_j$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle p_j$라 하자. 직선 $\displaystyle m_8$의 방정식은 $\displaystyle x+y=\frac12$, $\displaystyle 1\le k\le7$인 자연수 $\displaystyle k$에 대해 직선 $\displaystyle m_{8-k}$의 방정식은 $\displaystyle \frac1{8-k}x+\frac1{8+k}y=\frac1{16}$, 직선 $\displaystyle m_{8+k}$의 방정식은 $\displaystyle \frac1{8+k}x+\frac1{8-k}y=\frac1{16}$이다. 이로부터 $\displaystyle p_{8-k}=\frac{8-k}{32}$이고 $\displaystyle p_{8+k}=\frac{8+k}{32}$이다.

따라서 $\displaystyle p_{8-k}+p_{8+k}=\frac12$이므로 모든 교점의 $\displaystyle x$좌표의 합은$\displaystyle (p_1+\cdots+p_7)+(p_9+\cdots+p_{15})=(p_1+p_{15})+(p_2+p_{14})+\cdots+(p_7+p_9)=\frac72$이다.

(2) 직선 $\displaystyle m_i$와 $\displaystyle m_{i-1}$의 교점은 연립방정식$\displaystyle \begin{cases}\frac1i x+\frac1{n-i}y=\frac1n\\\frac1{i-1}x+\frac1{n-i+1}y=\frac1n\end{cases}$의 해이므로 교점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac{(n-i+1)(n-i)}{n^2}$이다.

구하는 도형의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}T_n&=\frac1{2n}\frac{n-1}n+\sum_{i=2}^{n-1}\frac1{2n}\frac{(n-i+1)(n-i)}{n^2}\\&=\frac{n-1}{2n^2}+\frac1{2n^3}\left(\sum_{i=1}^{n-1}(n^2-2ni+i^2+n-i)-(n^2-n)\right)\\&=\frac{n-1}{2n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{6n^3}\end{aligned}$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n=\frac16$이다.