의학계 1번

[문제 1-1](1) 각 곡선(선분)의 길이를 구하면(곡선(선분) $\displaystyle C_1$의 길이) $\displaystyle =$ (곡선(선분) $\displaystyle C_8$의 길이) $\displaystyle =2\sqrt2,$$\displaystyle \begin{aligned}(\text{곡선 }C_2\text{의 길이})=(\text{곡선 }C_7\text{의 길이})&=\int_2^4\sqrt{1+\left(\frac x2-\frac1{2x}\right)^2}\,dx=\int_2^4\left(\frac x2+\frac1{2x}\right)\,dx\\&=\Biggl[\frac{x^2}4+\frac12\ln x\Biggr]_2^4=\frac12\ln2+3,\end{aligned}$(곡선(선분) $\displaystyle C_3$의 길이) $\displaystyle =$ (곡선(선분) $\displaystyle C_6$의 길이) $\displaystyle =\frac12\sqrt{16+(16-\ln2)^2},$(곡선(선분) $\displaystyle C_4$의 길이) $\displaystyle =\frac83\sqrt2,$(곡선(선분) $\displaystyle C_5$의 길이) $\displaystyle =\frac43\sqrt5$이다. 따라서 곡선 $\displaystyle C$의 길이는 $\displaystyle 6+\frac{20}3\sqrt2+\frac43\sqrt5+\sqrt{16+(16-\ln2)^2}+\ln2$이다.

(2) 곡선 $\displaystyle C$로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}(\text{넓이})&=2\left(\int_0^2((-x+3)-(-x-2))\,dx+\int_2^4\left(\left(\frac{x^2}4-\frac12\ln\frac x2\right)-\left(\frac{16-\ln2}4(x-2)-4\right)\right)\,dx\right)-\frac43\\&=2\left(\int_0^2 5\,dx+\int_2^4\left(\frac{x^2}4-\frac{16-\ln2}4x-\frac12\ln\frac x2+12-\frac{\ln2}2\right)\,dx\right)-\frac43\\&=2\left(10+\Biggl[\frac{x^3}{12}-\frac{16-\ln2}8x^2-\frac x2\ln\frac x2+\frac{25}2x-\frac{\ln2}2x\Biggr]_2^4\right)-\frac43\\&=2\left(10-\frac32\ln2+\frac{17}3\right)-\frac43=30-3\ln2\end{aligned}$이다.

(3) [문제 1-1]의 (2)로부터 곡선 $\displaystyle C$로 둘러싸인 도형의 $\displaystyle y$축의 왼쪽 부분의 넓이는 오른쪽 부분의 넓이보다 $\displaystyle \frac43$만큼 작음을 알 수 있다. 한편 기울기가 $\displaystyle -10$이고 원점을 지나는 직선과 기울기가 $\displaystyle -10$이고 점 $\displaystyle (0,3)$을 지나는 직선에 의하여 잘리는 삼각형들의 넓이를 고려하면, $\displaystyle 0<k<\frac3{10}$임을 알 수 있다.

직선 $\displaystyle y=-10(x-k)$가 직선 $\displaystyle C_8$과 $\displaystyle C_4$와 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 각각 $\displaystyle \frac{10k-3}{11}$, $\displaystyle \frac{10k+2}9$이다.

직선 $\displaystyle y=-10(x-k)$가 도형을 같은 넓이로 나누므로$\displaystyle \frac12\times(10k+2)\times\frac{10k+2}9-\frac12\times(3-10k)\times\frac{3-10k}{11}=\frac23$이다. 이를 만족하는 $\displaystyle k$는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2739}}{20}-\frac{49}{20}$이다.

[문제 1-2]원점과 점 $\displaystyle \left(4,4-\frac12\ln2\right)$를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle a_1=1-\frac18\ln2$이므로, 직선 $\displaystyle y=ax$와 곡선 $\displaystyle C$와의 교점의 개수는 $\displaystyle a_1<|a|\le1$일 때 $\displaystyle 2$, $\displaystyle |a|=a_1$일 때 $\displaystyle 3$, $\displaystyle \frac12<|a|<a_1$일 때 $\displaystyle 4$, $\displaystyle |a|=\frac12$일 때 $\displaystyle 3$, $\displaystyle |a|<\frac12$일 때 $\displaystyle 2$이다.

따라서 $\displaystyle g(a)$는 $\displaystyle a=-a_1,-\frac12,\frac12,a_1$에서 불연속이다.

$\displaystyle h(a)=g(a)p(a)$가 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 연속함수이어야 하므로 다항함수 $\displaystyle p(a)$는 $\displaystyle \left(a^2-\frac14\right)(a^2-a_1^2)$을 인수로 갖는다. 따라서 <조건>을 만족하는 가장 낮은 차수의 다항함수는 $\displaystyle p(a)=\left(a^2-\frac14\right)(a^2-a_1^2)$이며, $\displaystyle p(0)=\frac14\left(1-\frac18\ln2\right)$이다.Correction. $\displaystyle p(0)=\frac14\left(1-\frac18\ln2\right)^2$이므로 괄호 밖의 제곱이 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 1-3]양수 $\displaystyle t$에 대해 직선 $\displaystyle \ell$이 $\displaystyle \left(-\frac23,-\frac43\right)$, $\displaystyle (-2,-4)$, $\displaystyle (2,1)$, $\displaystyle \left(4,4-\frac12\ln2\right)$, $\displaystyle (2,-4)$를 지날 때와 $\displaystyle C_2$에 접하는 경우, 즉 접점 $\displaystyle \left(3,\frac94-\frac12\ln\frac32\right)$을 지나는 경우만 고려하면 충분하다.

이에 해당하는 $\displaystyle t$의 값들을 크기 순으로 나열하여 $\displaystyle t_1=\frac13$, $\displaystyle t_2=1$, $\displaystyle t_3=\frac54$, $\displaystyle t_4=1+\frac38\ln2$, $\displaystyle t_5=\frac{21+6\ln\frac32}{16}$, $\displaystyle t_6=5$라 하고, 양의 실수 $\displaystyle t$에 대한 교점의 개수 $\displaystyle f(t)$를 살펴보면 다음 표와 같다.

따라서 불연속이 되는 $\displaystyle t$의 값들은 $\displaystyle \frac13$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 1+\frac38\ln2$, $\displaystyle \frac{21+6\ln\frac32}{16}$, $\displaystyle 5$이다.