의학계 1번

아주대 2026학년도 수시 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2026su/uihak_1

[문항 1] 【제시문】을 읽고 물음에 답하시오.

(가) [그림 1]과 같이 곡선 $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ , $\displaystyle C_3$ , $\displaystyle C_4$ , $\displaystyle C_5$ , $\displaystyle C_6$ , $\displaystyle C_7$ , $\displaystyle C_8$ 로 이루어진 곡선을 $\displaystyle C$ 라 하자.

$\displaystyle C_1:y=-x+3\ (0\le x\le2)$ $\displaystyle C_2:y=\frac{x^2}4-\frac12\ln\frac x2\ (2\le x\le4)$ $\displaystyle C_3:y=\frac{16-\ln2}4(x-2)-4\ (2\le x\le4)$ $\displaystyle C_4:y=-x-2\ \left(-\frac23\le x\le2\right)$ $\displaystyle C_5:y=2x\ \left(-2\le x\le-\frac23\right)$ $\displaystyle C_6:y=\frac{\ln2-16}4(x+2)-4\ (-4\le x\le-2)$ $\displaystyle C_7:y=\frac{x^2}4-\frac12\ln\left(-\frac x2\right)\ (-4\le x\le-2)$ $\displaystyle C_8:y=x+3\ (-2\le x\le0)$

(나) 양의 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 기울기가 $\displaystyle \frac43$ 이고 $\displaystyle x$ 절편이 $\displaystyle t$ 인 직선을 $\displaystyle \ell$ 이라 하자. [그림 2]는 $\displaystyle t=2$ 일 때를 나타내며, 이때 직선 $\displaystyle \ell$ 은 (가)의 곡선 $\displaystyle C$ 와 두 점에서 만난다.

[문제 1-1] (26점)제시문 (가)에 대한 다음 물음에 답하시오.(1) (8점) 곡선 $\displaystyle C$ 의 길이를 구하시오.(2) (8점) 곡선 $\displaystyle C$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.(3) (10점) 직선 $\displaystyle y=-10(x-k)$ 가 곡선 $\displaystyle C$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 이등분 할 때, 상수 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오.

[문제 1-2] (10점)실수 $\displaystyle a\ (-1\le a\le1)$ 에 대하여 직선 $\displaystyle y=ax$ 가 제시문 (가)의 곡선 $\displaystyle C$ 와 만나는 점의 개수를 $\displaystyle g(a)$ 라 하자. 다음 <조건>을 만족시키는 가장 낮은 차수의 다항함수 $\displaystyle p(a)$ 에 대하여 $\displaystyle p(0)$ 의 값을 구하시오.

<조건>① $\displaystyle h(a)=p(a)g(a)$ 로 정의된 함수 $\displaystyle h(a)$ 가 $\displaystyle -1\le a\le1$ 에서 연속이다.② $\displaystyle p(a)$ 는 일차 이상의 다항함수이다.③ $\displaystyle p(a)$ 의 최고차항의 계수는 $\displaystyle 1$ 이다.

[문제 1-3] (14점)제시문 (나)의 직선 $\displaystyle \ell$ 이 제시문 (가)의 곡선 $\displaystyle C$ 와 만나는 점의 개수를 $\displaystyle f(t)$ 라 할 때, 함수 $\displaystyle f(t)$ 가 불연속인 양의 실수 $\displaystyle t$ 의 값을 모두 구하시오.

※ 대소 비교에 다음 표를 활용하여도 무방함.

$x$	2	3	5	7
$\ln x$	0.693	1.099	1.609	1.946

해설강의 준비중

아주대 2026학년도 수시 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2026su/uihak_1

+6점 · (1) 적분을 이용하여

\displaystyle C_2

\displaystyle C_7

의 길이를 올바르게 계산

+2점 · (2) 선분의 길이를 올바르게 계산

[문제 1-1](1) 각 곡선(선분)의 길이를 구하면(곡선(선분) $\displaystyle C_1$ 의 길이) $\displaystyle =$ (곡선(선분) $\displaystyle C_8$ 의 길이) $\displaystyle =2\sqrt2,$ $\displaystyle \begin{aligned}(\text{곡선 }C_2\text{의 길이})=(\text{곡선 }C_7\text{의 길이})&=\int_2^4\sqrt{1+\left(\frac x2-\frac1{2x}\right)^2}\,dx=\int_2^4\left(\frac x2+\frac1{2x}\right)\,dx\\&=\Biggl[\frac{x^2}4+\frac12\ln x\Biggr]_2^4=\frac12\ln2+3,\end{aligned}$ (곡선(선분) $\displaystyle C_3$ 의 길이) $\displaystyle =$ (곡선(선분) $\displaystyle C_6$ 의 길이) $\displaystyle =\frac12\sqrt{16+(16-\ln2)^2},$ (곡선(선분) $\displaystyle C_4$ 의 길이) $\displaystyle =\frac83\sqrt2,$ (곡선(선분) $\displaystyle C_5$ 의 길이) $\displaystyle =\frac43\sqrt5$ 이다. 따라서 곡선 $\displaystyle C$ 의 길이는 $\displaystyle 6+\frac{20}3\sqrt2+\frac43\sqrt5+\sqrt{16+(16-\ln2)^2}+\ln2$ 이다.

+4점 · (1) 넓이를 정적분으로 나타냄

+4점 · (2) 정적분을 올바르게 계산

(2) 곡선 $\displaystyle C$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \begin{aligned}(\text{넓이})&=2\left(\int_0^2((-x+3)-(-x-2))\,dx+\int_2^4\left(\left(\frac{x^2}4-\frac12\ln\frac x2\right)-\left(\frac{16-\ln2}4(x-2)-4\right)\right)\,dx\right)-\frac43\\&=2\left(\int_0^2 5\,dx+\int_2^4\left(\frac{x^2}4-\frac{16-\ln2}4x-\frac12\ln\frac x2+12-\frac{\ln2}2\right)\,dx\right)-\frac43\\&=2\left(10+\Biggl[\frac{x^3}{12}-\frac{16-\ln2}8x^2-\frac x2\ln\frac x2+\frac{25}2x-\frac{\ln2}2x\Biggr]_2^4\right)-\frac43\\&=2\left(10-\frac32\ln2+\frac{17}3\right)-\frac43=30-3\ln2\end{aligned}$ 이다.

+3점 · (1) 넓이를 이등분하는

\displaystyle t

의 범위를 관찰

Correction. 채점기준의 $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle k$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3) [문제 1-1]의 (2)로부터 곡선 $\displaystyle C$ 로 둘러싸인 도형의 $\displaystyle y$ 축의 왼쪽 부분의 넓이는 오른쪽 부분의 넓이보다 $\displaystyle \frac43$ 만큼 작음을 알 수 있다. 한편 기울기가 $\displaystyle -10$ 이고 원점을 지나는 직선과 기울기가 $\displaystyle -10$ 이고 점 $\displaystyle (0,3)$ 을 지나는 직선에 의하여 잘리는 삼각형들의 넓이를 고려하면, $\displaystyle 0<k<\frac3{10}$ 임을 알 수 있다.

+3점 · (2) 직선과 곡선의 교점을 올바르게 계산

직선 $\displaystyle y=-10(x-k)$ 가 직선 $\displaystyle C_8$ 과 $\displaystyle C_4$ 와 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표는 각각 $\displaystyle \frac{10k-3}{11}$ , $\displaystyle \frac{10k+2}9$ 이다.

+4점 · (3) 넓이가 같음을 이용하여 정답을 올바르게 구함

직선 $\displaystyle y=-10(x-k)$ 가 도형을 같은 넓이로 나누므로 $\displaystyle \frac12\times(10k+2)\times\frac{10k+2}9-\frac12\times(3-10k)\times\frac{3-10k}{11}=\frac23$ 이다. 이를 만족하는 $\displaystyle k$ 는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2739}}{20}-\frac{49}{20}$ 이다.

+3점 · (1) 기울기에 따른 교점의 개수를 구함

[문제 1-2]원점과 점 $\displaystyle \left(4,4-\frac12\ln2\right)$ 를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle a_1=1-\frac18\ln2$ 이므로, 직선 $\displaystyle y=ax$ 와 곡선 $\displaystyle C$ 와의 교점의 개수는 $\displaystyle a_1<|a|\le1$ 일 때 $\displaystyle 2$ , $\displaystyle |a|=a_1$ 일 때 $\displaystyle 3$ , $\displaystyle \frac12<|a|<a_1$ 일 때 $\displaystyle 4$ , $\displaystyle |a|=\frac12$ 일 때 $\displaystyle 3$ , $\displaystyle |a|<\frac12$ 일 때 $\displaystyle 2$ 이다.

+2점 · (2) 불연속점을 관찰

따라서 $\displaystyle g(a)$ 는 $\displaystyle a=-a_1,-\frac12,\frac12,a_1$ 에서 불연속이다.

+5점 · (3) 다항함수

\displaystyle p(a)

을 올바르게 제시하고

\displaystyle p(0)

를 구함

$\displaystyle h(a)=g(a)p(a)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$ 에서 연속함수이어야 하므로 다항함수 $\displaystyle p(a)$ 는 $\displaystyle \left(a^2-\frac14\right)(a^2-a_1^2)$ 을 인수로 갖는다. 따라서 <조건>을 만족하는 가장 낮은 차수의 다항함수는 $\displaystyle p(a)=\left(a^2-\frac14\right)(a^2-a_1^2)$ 이며, $\displaystyle p(0)=\frac14\left(1-\frac18\ln2\right)^2$ 이다.

+4점 · (1) 직선과 곡선이 접하는 경우를 관찰하고 접점을 구함

[문제 1-3]양수 $\displaystyle t$ 에 대해 직선 $\displaystyle \ell$ 이 $\displaystyle \left(-\frac23,-\frac43\right)$ , $\displaystyle (-2,-4)$ , $\displaystyle (2,1)$ , $\displaystyle \left(4,4-\frac12\ln2\right)$ , $\displaystyle (2,-4)$ 를 지날 때와 $\displaystyle C_2$ 에 접하는 경우, 즉 접점 $\displaystyle \left(3,\frac94-\frac12\ln\frac32\right)$ 을 지나는 경우만 고려하면 충분하다.

+6점 · (2)

\displaystyle t

값에 따른 교점의 개수를 구함

이에 해당하는 $\displaystyle t$ 의 값들을 크기 순으로 나열하여 $\displaystyle t_1=\frac13$ , $\displaystyle t_2=1$ , $\displaystyle t_3=\frac54$ , $\displaystyle t_4=1+\frac38\ln2$ , $\displaystyle t_5=\frac{21+6\ln\frac32}{16}$ , $\displaystyle t_6=5$ 라 하고, 양의 실수 $\displaystyle t$ 에 대한 교점의 개수 $\displaystyle f(t)$ 를 살펴보면 다음 표와 같다.

$t$ 의 범위	$f(t)$	비고
$0<t<t_1$	2
$t=t_1$	3	$\left(-\frac23,-\frac43\right)$ 를 지날 때
$t_1<t<t_2$	4
$t=t_2$	3	$(-2,-4)$ 를 지날 때
$t_2<t<t_3$	2
$t=t_3$	2	$(2,1)$ 을 지날 때 $\lim_{t\to t_3-}f(t)=\lim_{t\to t_3+}f(t)=f(t_3)$
$t_3<t<t_4$	2
$t=t_4$	3	$\left(4,4-\frac12\ln2\right)$ 를 지날 때
$t_4<t<t_5$	4
$t=t_5$	3	$C_2$ 에 접할 때
$t_5<t<t_6$	2
$t=t_6$	1	$(2,-4)$ 를 지날 때
$t>t_6$	0

+4점 · (3) 불연속점을 구함

따라서 불연속이 되는 $\displaystyle t$ 의 값들은 $\displaystyle \frac13$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 1+\frac38\ln2$ , $\displaystyle \frac{21+6\ln\frac32}{16}$ , $\displaystyle 5$ 이다.

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