의예과 1번

조건 $\displaystyle p$는 $\displaystyle 1-a\le x\le1+a$이고, 조건 $\displaystyle q$에서 $\displaystyle h(x)=|x^2-1|$이라고 하면, 조건 $\displaystyle p$의 범위에서 $\displaystyle h(x)$의 최댓값은 양 끝점에서 얻어지므로 필요조건이 되기 위해서는 $\displaystyle b\ge(1+a)^2-1=a^2+2a$이고 $\displaystyle b\ge|(1-a)^2-1|=|a^2-2a|$이어야 한다.

$\displaystyle a>0$이므로1) $\displaystyle 0<a\le2$일 때 $\displaystyle a^2+2a-(2a-a^2)=2a^2>0$2) $\displaystyle a>2$일 때 $\displaystyle a^2+2a-(a^2-2a)=4a>0$이고, 따라서 $\displaystyle q$가 $\displaystyle p$의 필요조건이 되기 위해서는 $\displaystyle b>a^2+2a$이 된다.Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle |x^2-1|$의 최댓값은 $\displaystyle a^2+2a$이다. 조건 $\displaystyle q$는 $\displaystyle |x^2-1|\le b$이므로 $\displaystyle b$가 그 최댓값과 같아도 성립한다. 따라서 $\displaystyle b>a^2+2a$는 $\displaystyle b\ge a^2+2a$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

또한 $\displaystyle b\le a^2-2a+k$를 만족해야 하므로 $\displaystyle S$는$\displaystyle f(x)=x^2+2x,\;g(x)=x^2-2x+k,\;x=0$으로 둘러싸인 부분이다.$\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$의 교점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle k/4$이므로

$\displaystyle S$의 넓이 $\displaystyle =\int_0^{k/4}(x^2-2x+k-(x^2+2x))dx=-2x^2+kx|_0^{k/4}=k^2/8=1$$\displaystyle k$가 양수이므로 $\displaystyle k=2\sqrt2$이다.

$\displaystyle f(x)=(2x+1)\ln\frac{x+2}x=(2x+1)(\ln(x+2)-\ln x)$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=2(\ln(x+2)-\ln x)+(2x+1)\left(\frac1{x+2}-\frac1x\right)\\&=2(\ln(x+2)-\ln x)-\frac3{x+2}-\frac1x\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime\prime}(x)&=2\left(\frac1{x+2}-\frac1x\right)+\frac3{(x+2)^2}+\frac1{x^2}\\&=\frac{-4(x-1)}{x^2(x+2)^2}\end{aligned}$

$\displaystyle x>1$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 감소함수이다.만일 $\displaystyle t>1$인 어떤 $\displaystyle t$에 대해 $\displaystyle f^{\prime}(t)\le0$이라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(t+1)<f^{\prime}(t)\le0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 감소함수이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)\le f^{\prime}(t+1)<0$이다.그러나 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 양수이다.

따라서 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이다.