의예과 2번

$\displaystyle m\le n$인 자연수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle m$에 대하여 집합 $\displaystyle \{1,2,\cdots,n\}$에서 집합 $\displaystyle \{1,2,\cdots,m\}$으로의 모든 함수의 개수 $\displaystyle m^n$은 제시문 (ㄴ)에 의해 그러한 함수 중 치역의 원소의 개수가 $\displaystyle k\;(1\le k\le m)$인 함수의 개수, $\displaystyle {}_n\mathrm C_kA_k$를 모두 더한 값과 같다. 즉 $\displaystyle \sum_{k=1}^m{}_m\mathrm C_kA_k=m^n$이다.Correction. 치역의 원소는 $\displaystyle m$개 중 $\displaystyle k$개를 선택하므로 $\displaystyle {}_n\mathrm C_k$는 $\displaystyle {}_m\mathrm C_k$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^n{}_n\mathrm C_kA_k=n^n$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm C_kA_k=(n-1)^n$이다.

$\displaystyle n\ge2$인 자연수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle 1\le k\le n$인 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle k{}_n\mathrm C_k=n{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}$이고, $\displaystyle n\ge2,\;1\le k\le n-1$인 자연수 $\displaystyle n,k$에 대해 $\displaystyle {}_{n-1}\mathrm C_{k-1}+{}_{n-1}\mathrm C_k={}_n\mathrm C_k$, 즉 $\displaystyle {}_{n-1}\mathrm C_{k-1}={}_n\mathrm C_k-{}_{n-1}\mathrm C_k$이므로$\displaystyle n\ge2$일 때 $\displaystyle \begin{aligned}p_n&=\sum_{k=1}^nk{}_n\mathrm C_kA_k=\sum_{k=1}^nn{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}A_k\\&=\sum_{k=1}^{n-1}n{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}A_k+nA_n\\&=n\sum_{k=1}^{n-1}({}_n\mathrm C_k-{}_{n-1}\mathrm C_k)A_k+nA_n\\&=n\left(\sum_{k=1}^n{}_n\mathrm C_kA_k-\sum_{k=1}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm C_kA_k\right)\\&=n(n^n-(n-1)^n)\end{aligned}$이 된다. (이 식은 $\displaystyle p_1=1$이므로 $\displaystyle n=1$일 때도 성립한다.)

그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{n^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\left\{1-\frac{(n-1)^n}{n^n}\right\}=1-\frac1e$이다.

$\displaystyle q_n=\left(1+\frac1{n(n+2)}\right)^n-\frac{n+1}n=\left(\frac{n+1}n\right)^n\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n-\frac{n+1}n=\left(1+\frac1n\right)^n\left(1+\frac1{n+1}\right)^{-n-1}\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}n$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e,\;\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)^{-n-1}=e^{-1}$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}q_n=e\times e^{-1}-1=0$이다.

제시문 (ㄹ)의 이항정리를 이용하여 $\displaystyle q_n=\left(1+\frac1{n(n+2)}\right)^n\frac{n+1}n$을 전개하면 다음을 얻는다.Correction. $\displaystyle (n+1)/n$ 앞에 빼기 기호가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle n^2q_n=n^2\left[1+\frac1{n+2}+\sum_{k=2}^n{}_n\mathrm C_k\frac1{n^k(n+2)^k}-\frac{n+1}n\right]=\frac{-2n}{n+2}+\frac{n(n-1)}{2(n+2)^2}+n^2\sum_{k=3}^n{}_n\mathrm C_k\frac1{n^k(n+2)^k}$제시문 (ㅁ)에 의해 $\displaystyle {}_n\mathrm C_k\le{}_n\Pi_k=n^k$이므로$\displaystyle 0\le n^2\sum_{k=3}^n{}_n\mathrm C_k\frac1{n^k(n+2)^k}\le n^2\sum_{k=3}^{\infty}\frac1{(n+2)^k}=\frac{n^2}{(n+2)^3}\frac1{1-(n+2)^{-1}}=\frac{n^2}{(n+2)^3}\cdot\frac{n+2}{n+1}$을 만족하는데, 부등식 오른쪽의 수열은 $\displaystyle n\to\infty$일 때 $\displaystyle 0$으로 수렴하므로, 제시문 (ㄷ)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2\sum_{k=3}^n{}_n\mathrm C_k\frac1{n^k(n+2)^k}=0$이 된다.

따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2q_n=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{-2n}{n+2}+\frac{n(n-1)}{2(n+2)^2}\right]=-\frac32$이다.