자연계열 3번

$\displaystyle \int_0^x(x-t)f(t)dt=x\int_0^xf(t)dt-\int_0^xtf(t)dt$이므로 주어진 등식의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle xf(x)+\int_0^xf(t)dt-xf(x)=\frac16x^3-\frac a2x^2+\frac{a^2+2a}4x$$\displaystyle \Rightarrow\quad\int_0^xf(t)dt=\frac16x^3-\frac a2x^2+\frac{a^2+2a}4x.$

위 식의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle f(x)=\frac12x^2-ax+\frac{a^2+2a}4$를 얻을 수 있다.

$\displaystyle 0<a<1$이므로 함수 $\displaystyle f(x)=\frac12x^2-ax+\frac{a^2+2a}4=\frac12(x-a)^2-\frac14(a-1)^2+\frac14$는 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 $\displaystyle x=a$에서 최솟값 $\displaystyle f(a)=-\frac14a^2+\frac12a=-\frac14(a-1)^2+\frac14$, $\displaystyle x=2$에서 최댓값 $\displaystyle f(2)=\frac14a^2-\frac32a+2$을 갖는다.

최솟값 $\displaystyle f(a)$는 다음을 만족한다.$\displaystyle 0<f(a)=-\frac14(a-1)^2+\frac14\le\frac14<1.$제시문 (ㄹ)에 의하여 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 함수 $\displaystyle [f(x)]$가 연속이기 위해서는$\displaystyle f(2)=\frac14a^2-\frac32a+2<1$이어야 한다.

위의 식으로부터$\displaystyle (a-3+\sqrt5)(a-3-\sqrt5)<0\quad\Rightarrow\quad3-\sqrt5<a<3+\sqrt5.$따라서 $\displaystyle 3-\sqrt5<a<1$일 때, 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 $\displaystyle [f(x)]=0$이 되어 함수 $\displaystyle [f(x)]$는 연속이다.