자연계열 1번

$\displaystyle 3a>5b$인 경우, 제시문 (ㄱ)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{5b}{3a}\right)^n=0$이므로 제시문 (ㄴ)에 의해$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}a^{n+1}+5^{n+1}b^{n+1}}{3^na^n+5^nb^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3a+5b\left(\frac{5b}{3a}\right)^n}{1+\left(\frac{5b}{3a}\right)^n}=\frac{3a+5b\cdot0}{1+0}=3a$이다.

$\displaystyle 3a=5b$인 경우, 제시문 (ㄱ)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{5b}{3a}\right)^n=1$이므로 제시문 (ㄴ)에 의해$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}a^{n+1}+5^{n+1}b^{n+1}}{3^na^n+5^nb^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3a+5b\left(\frac{5b}{3a}\right)^n}{1+\left(\frac{5b}{3a}\right)^n}=\frac{3a+5b}{1+1}=3a$이다.

$\displaystyle 3a<5b$인 경우, 제시문 (ㄱ)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{3a}{5b}\right)^n=0$이므로 제시문 (ㄴ)에 의해$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}a^{n+1}+5^{n+1}b^{n+1}}{3^na^n+5^nb^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3a\left(\frac{3a}{5b}\right)^n+5b}{\left(\frac{3a}{5b}\right)^n+1}=\frac{3a\cdot0+5b}{1+0}=5b$이다.

따라서 두 양수 $\displaystyle a,b$에 대해서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}a^{n+1}+5^{n+1}b^{n+1}}{3^na^n+5^nb^n}=3a$일 필요충분조건은 다음과 같다.$\displaystyle 3a\ge5b,\;a>0,\;b>0$따라서 영역 $\displaystyle A$는 아래 그림에서 색칠된 부분이다.

$\displaystyle b-a^2=k$라고 두자. $\displaystyle b-a^2$의 최댓값 $\displaystyle M$은 곡선 $\displaystyle b=a^2+k$와 직선 $\displaystyle b=\frac35a$가 접할 때의 $\displaystyle k$값과 같다. 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac35$이므로 접점의 좌표는 $\displaystyle (\frac3{10},\frac9{50})$이 된다.

따라서 $\displaystyle M=\frac9{50}-\left(\frac3{10}\right)^2=\frac9{100}$이다.