자연계열 1번

가톨릭대 2018학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/catholic/2018mo/jayeon_1

[문항 1] 제시문 (ㄱ)~(ㄹ)을 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (30점)

(ㄱ) 등비수열 $\displaystyle \{r^n\}$ 의 수렴, 발산은 다음과 같다.

① $\displaystyle r>1$ 일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=\infty$

② $\displaystyle r=1$ 일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=1$

③ $\displaystyle -1<r<1$ 일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=0$

④ $\displaystyle r\le-1$ 일 때, 수열 $\displaystyle \{r^n\}$ 은 진동하면서 발산한다.

(ㄴ) [수열의 극한에 대한 기본 성질] 수렴하는 두 수열 $\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}$ 에 대하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\;\lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ ( $\displaystyle \alpha,\beta$ 는 실수)일 때

① $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha+\beta$

② $\displaystyle \lim_{n\to\infty}ka_n=k\lim_{n\to\infty}a_n=k\alpha$ (단, $\displaystyle k$ 는 상수)

③ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha\beta$

④ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}=\frac\alpha\beta$ (단, $\displaystyle b_n\ne0,\;\beta\ne0$ )

(ㄷ) 두 양수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 다음을 만족하는 점 $\displaystyle (a,b)$ 로 이루어진 영역을 $\displaystyle A$ 라고 하자.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}a^{n+1}+5^{n+1}b^{n+1}}{3^na^n+5^nb^n}=3a$

(ㄹ) 제시문 (ㄷ)의 영역 $\displaystyle A$ 에 속하는 점 $\displaystyle (a,b)$ 에 대하여 $\displaystyle b-a^2$ 의 최댓값을 $\displaystyle M$ 이라고 하자.

논제 1. (20점) 제시문 (ㄷ)의 영역 $\displaystyle A$ 를 좌표평면 위에 나타내고 그 근거를 논술하시오.

논제 2. (10점) 제시문 (ㄹ)에서 정의된 $\displaystyle M$ 의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

해설강의 준비중

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+5점

$\displaystyle 3a>5b$ 인 경우, 제시문 (ㄱ)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{5b}{3a}\right)^n=0$ 이므로 제시문 (ㄴ)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}a^{n+1}+5^{n+1}b^{n+1}}{3^na^n+5^nb^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3a+5b\left(\frac{5b}{3a}\right)^n}{1+\left(\frac{5b}{3a}\right)^n}=\frac{3a+5b\cdot0}{1+0}=3a$ 이다.

+5점

$\displaystyle 3a=5b$ 인 경우, 제시문 (ㄱ)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{5b}{3a}\right)^n=1$ 이므로 제시문 (ㄴ)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}a^{n+1}+5^{n+1}b^{n+1}}{3^na^n+5^nb^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3a+5b\left(\frac{5b}{3a}\right)^n}{1+\left(\frac{5b}{3a}\right)^n}=\frac{3a+5b}{1+1}=3a$ 이다.

+5점

$\displaystyle 3a<5b$ 인 경우, 제시문 (ㄱ)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{3a}{5b}\right)^n=0$ 이므로 제시문 (ㄴ)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}a^{n+1}+5^{n+1}b^{n+1}}{3^na^n+5^nb^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3a\left(\frac{3a}{5b}\right)^n+5b}{\left(\frac{3a}{5b}\right)^n+1}=\frac{3a\cdot0+5b}{1+0}=5b$ 이다.

+5점

따라서 두 양수 $\displaystyle a,b$ 에 대해서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}a^{n+1}+5^{n+1}b^{n+1}}{3^na^n+5^nb^n}=3a$ 일 필요충분조건은 다음과 같다. $\displaystyle 3a\ge5b,\;a>0,\;b>0$ 따라서 영역 $\displaystyle A$ 는 아래 그림에서 색칠된 부분이다.

+5점

$\displaystyle b-a^2=k$ 라고 두자. $\displaystyle b-a^2$ 의 최댓값 $\displaystyle M$ 은 곡선 $\displaystyle b=a^2+k$ 와 직선 $\displaystyle b=\frac35a$ 가 접할 때의 $\displaystyle k$ 값과 같다. 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac35$ 이므로 접점의 좌표는 $\displaystyle (\frac3{10},\frac9{50})$ 이 된다.

+5점

따라서 $\displaystyle M=\frac9{50}-\left(\frac3{10}\right)^2=\frac9{100}$ 이다.

1. 기본 사항

(1) 각 논제를 각각 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄 평가. 수리논술에서는 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 환산함

(2) 논술 답안에 수험생의 신원을 알릴 만한 요소가 있을 때는 다음과 같이 처리한다.

① 이름이 본문 내용과 별도로 표기된 경우 : 내용, 형식 모두 0점으로 채점

② 이름이 본문 중에 자연스럽게 노출된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

③ 제목이 표기된 경우 : 형식 부분에서 5점 감점

④ 기타 의도적으로 수험생의 신원을 알리는 기호로 판단되는 요소가 있는 경우 : 사안의 경중에 따라 형식 부분에서 5점 이상 감점

2. 세부 사항

(1) 문제의 의도에서 완전히 이탈했거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우는 0점으로 채점한다.

(2) 각 문항 별 채점 기준은 다음과 같다.

첨삭 사례

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