자연계열 2번

원점 $\displaystyle \mathrm O$와 점 $\displaystyle \mathrm P(t,t^2+t^3)$사이의 거리는 $\displaystyle a(t)=t\sqrt{1+t^2(1+t)^2}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm Q$의 좌표는 $\displaystyle (a(t),0)=(t\sqrt{1+t^2(1+t)^2},0)$이 된다.

직선 $\displaystyle l$의 기울기는 $\displaystyle s=\frac{-t^2-t^3}{t\sqrt{t^4+2t^3+t^2+1}-t}$이므로 $\displaystyle l$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y=sx+b=\frac{-t^2-t^3}{t\sqrt{t^4+2t^3+t^2+1}-t}(x-a(t))$

따라서 $\displaystyle b(t)=t^2+t^3+\frac{t^2+t^3}{\sqrt{t^4+2t^3+t^2+1}-1}=t^2+t^3+\frac{\sqrt{t^4+2t^3+t^2+1}+1}{t+1}$이 된다.

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to0+}b(t)&=\lim_{t\to0+}\left\{t^2+t^3+\frac{t^2+t^3}{\sqrt{t^4+2t^3+t^2+1}-1}\right\}\\&=\lim_{t\to0+}\left\{t^2+t^3+\frac{\sqrt{t^4+2t^3+t^2+1}+1}{t+1}\right\}\\&=\lim_{t\to0+}\frac{\sqrt{t^4+2t^3+t^2+1}+1}{t+1}\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle \lim_{t\to0+}b(t)=2$이다.