자연계열 1번

방정식 $\displaystyle y=ax^2+bx+2$가 나타내는 도형을 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은$\displaystyle -y=a(-x)^2+b(-x)+2,\quad\text{즉 }y=-ax^2+bx-2$이다.

이 방정식이 나타내는 도형을 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle 1$만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle -6$만큼 평행이동한 도형의 방정식은$\displaystyle y=-a(x-1)^2+b(x-1)-2-6=-ax^2+(b+2a)x-a-b-8$이고,방정식 $\displaystyle y=-x^2+4x+c$와 같으므로 $\displaystyle a=1,b=2,c=-11$이다.

$\displaystyle f(x)=x^2+2x+2$라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x+2$곡선 $\displaystyle y=x^2+2x+2$위의 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서 접선의 방정식은$\displaystyle y=2(t+1)(x-t)+t^2+2t+2=2(t+1)x+2-t^2$

또한 이 직선이 곡선 $\displaystyle y=-x^2+4x-11$에 접하면,방정식 $\displaystyle 2(t+1)x+2-t^2=-x^2+4x-11$,즉 $\displaystyle x^2-2(t-1)x-t^2+13=0$은 중근을 가지고,Correction. 정리한 이차방정식은 $\displaystyle x^2+2(t-1)x-t^2+13=0$으로, 일차항의 부호는 양수이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac{D}{4}=(t-1)^2-t^2-13=0$, 즉 $\displaystyle 2t^2-2t-12=0$이다.Correction. 판별식은 $\displaystyle D/4=(t-1)^2+t^2-13$으로, 두 번째 $\displaystyle t^2$ 앞의 부호는 양수이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle (t-3)(t+2)=0$에서 $\displaystyle t=-2$ 또는 $\displaystyle t=3$이므로$\displaystyle l_1$의 방정식은 $\displaystyle y=-2x-2$, $\displaystyle l_2$의 방정식은 $\displaystyle y=8x-7$이다.

$\displaystyle l_1$과 $\displaystyle l_2$의 교점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle \frac12$이므로$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_{-2}^{1/2}(x^2+2x+2-(-2x-2))dx+\int_{1/2}^3(x^2+2x+2-(8x-7))dx\\&=\int_{-2}^{1/2}(x^2+4x+4)dx+\int_{1/2}^3(x^2-6x+9)dx\\&=\Biggl[\frac{x^3}{3}+2x^2+4x\Biggr]_{-2}^{1/2}+\Biggl[\frac{x^3}{3}-3x^2+9x\Biggr]_{1/2}^3=\frac{125}{12}\end{aligned}$