의예과 2번

극한으로 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle |x|<1,\;|x|>1,\;x=1$에서 각각 다음과 같다.① $\displaystyle |x|<1$$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{3x^{3n+2}+3x^{2n}+x+5}{x^{3n}+1}=x+5$② $\displaystyle |x|>1$$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{3x^{3n+2}+3x^{2n}+x+5}{x^{3n}+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3x^2+\frac3{x^n}+\frac1{x^{3n-1}}+\frac5{x^{3n}}}{1+\frac1{x^{3n}}}=3x^2$③ $\displaystyle x=1$$\displaystyle f(1)=\lim_{n\to\infty}\frac{3(1)^{3n+1}+3(1)^{2n}+1+5}{(1)^{3n}+1}=6$

한편, 양수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle 1$보다 큰 실수 $\displaystyle b$에 대하여 제시문 (ㄴ)을 만족하기 위해서는 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{a(x+b)}+3$과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 아래의 그림과 같이 $\displaystyle -1<x\leq1$에서 접해야 한다.

즉, 접점을 $\displaystyle (t,t+5)$라 하면 실수 $\displaystyle t$는 다음을 만족한다.$\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{a(t+b)}}=1,\qquad t+5=\sqrt{a(t+b)}+3$이를 $\displaystyle t$에 관해서 풀면, $\displaystyle a=8-4b$임을 알고, $\displaystyle -1<t\leq1$와 $\displaystyle a>0,\;b>1$에 의해 제시문 (ㄴ)을 만족하는 $\displaystyle a,\;b$의 관계식은 다음과 같다.$\displaystyle a=8-4b\quad\left(1<b<\frac32\right)$

제시문 (ㄷ)의 $\displaystyle m$값을 구하기 위해 $\displaystyle x=-1,\;1$에서의 $\displaystyle y=\sqrt{2b(x+a)}+\frac52$의 함숫값을 살펴보자.앞서 구한 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 관계식 $\displaystyle a=8-4b\quad\left(1<b<\frac32\right)$을 이용하면 $\displaystyle x=-1,\;1$에서의 $\displaystyle y=\sqrt{2b(x+a)}+\frac52$의 함숫값인 $\displaystyle \sqrt{2b(-1+a)}+\frac52,\quad\sqrt{2b(1+a)}+\frac52$에 대해 다음의 부등식을 얻는다.$\displaystyle 4<\frac52+\sqrt3<\sqrt{2b(-1+a)}+\frac52=\sqrt{2b(7-4b)}+\frac52<\frac52+\sqrt6<5$$\displaystyle 5<\frac52+3<\sqrt{2b(1+a)}+\frac52=\sqrt{2b(9-4b)}+\frac52\le\frac52+\frac9{2\sqrt2}<6$함수 $\displaystyle y=\sqrt{2b(x+a)}+\frac52$는 $\displaystyle x\geq-a$에서 연속이고 $\displaystyle 2<a<4$이므로 위 두 부등식에 의해 $\displaystyle m=3$이다. (다음 페이지 그림 참고)