생활과학·미디어 3번

방정식 $\displaystyle y=x^3+ax^2+bx+c$이 나타내는 도형을 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $\displaystyle y=x^3-ax^2+bx-c$이다. 따라서 $\displaystyle a=0$이고 $\displaystyle c=0$이다.

삼차함수 $\displaystyle f(x)=x^3+bx$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+b$.$\displaystyle b\geq0$이면 삼차함수 $\displaystyle f(x)$의 극대, 극소가 존재하지 않으므로 $\displaystyle b<0$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle x=\frac{\sqrt{-3b}}3$ 또는 $\displaystyle x=-\frac{\sqrt{-3b}}3$이고 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}x&\cdots&-\frac{\sqrt{-3b}}3&\cdots&\frac{\sqrt{-3b}}3&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\nearrow&\text{극댓값}&\searrow&\text{극솟값}&\nearrow\end{array}$제시문 (ㄱ)의 조건 (2)로부터 다음을 얻을 수 있다.$\displaystyle f\left(-\frac{\sqrt{-3b}}3\right)-f\left(\frac{\sqrt{-3b}}3\right)=-\frac{4b\sqrt{-3b}}9=4$따라서 $\displaystyle b=-3$이다. 제시문 (ㄱ)의 $\displaystyle a,\;b,\;c$는 다음과 같다.$\displaystyle a=0,\;b=-3,\;c=0$

$\displaystyle kxf(x)\;(-\sqrt2\leq x\leq\sqrt2)$이 확률밀도함수 이므로 구간 $\displaystyle [-\sqrt2,\sqrt2]$에서 $\displaystyle kxf(x)\geq0$이고 $\displaystyle \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}kxf(x)dx=1$이어야 한다.

$\displaystyle -\sqrt2\leq x\leq\sqrt2$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle xf(x)=x^2(x^2-3)\leq0$이므로 $\displaystyle k\leq0$이다.

또한$\displaystyle \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}k(x^4-3x^2)dx=k\left(\frac85\sqrt2-4\sqrt2\right)=1$이므로$\displaystyle k=-\frac5{24}\sqrt2$