자연계열 3번

$\displaystyle a_k$와 $\displaystyle a_{k+2}$가 모두 홀수라고 하자.$\displaystyle a_n$이 홀수이고 $\displaystyle a_{n+1}$이 짝수이면 $\displaystyle a_n+a_{n+1}$이 홀수이므로 $\displaystyle a_{n+2}=3(a_n+a_{n+1})+1$은 짝수이다. 그런데 $\displaystyle a_k$와 $\displaystyle a_{k+2}$가 모두 홀수이므로 $\displaystyle \underline{a_{k+1}\text{은 홀수이다.}}$

또한, $\displaystyle a_n$이 짝수이고 $\displaystyle a_{n+1}$이 홀수이면 $\displaystyle a_n+a_{n+1}$이 홀수이므로 $\displaystyle a_{n+2}=3(a_n+a_{n+1})+1$은 짝수이다. 그런데 $\displaystyle a_k$와 $\displaystyle a_{k+1}$이 모두 홀수이므로 $\displaystyle k-1$이 자연수일 때 $\displaystyle \underline{a_{k-1}\text{도 홀수이다.}}$

그러면 $\displaystyle k-2$가 자연수일 때 $\displaystyle a_{k-1}$과 $\displaystyle a_k$가 모두 홀수이므로 $\displaystyle \underline{a_{k-2}\text{도 홀수이다.}}$이와 같이 계속하면 $\displaystyle a_{k-3},\;\cdots,\;a_1$이 모두 홀수임을 얻는다.

따라서 $\displaystyle \underline{n\leq k+2\text{인 모든 자연수 }n\text{에 대하여 }a_n\text{은 홀수이다.}}$그러므로 명제 $\displaystyle p$는 참이다.

$\displaystyle a_5$가 홀수인 경우와 짝수인 경우로 나누어 생각하자.i) $\displaystyle a_5$가 홀수인 경우:명제 $\displaystyle p$가 참이고 $\displaystyle a_3=19$이므로 명제 $\displaystyle p$에 의해 $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_5$는 모두 홀수이다.따라서 $\displaystyle (a_4+a_5)/2=a_6=22$이고 $\displaystyle a_5=(a_3+a_4)/2=(19+a_4)/2$이다.그러므로 $\displaystyle a_4+a_5=44$이고 $\displaystyle 2a_5=19+a_4$이다. 따라서 $\displaystyle a_5=21$이고 $\displaystyle a_4=23$이다.그런데 $\displaystyle a_2+a_3=2a_4$이므로 $\displaystyle a_2=2a_4-a_3=46-19=27$이고,$\displaystyle a_1+a_2=2a_3$이므로 $\displaystyle a_1=2a_3-a_2=38-27=11$이다.따라서 수열 $\displaystyle 11,27,19,23,21,22,\cdots$이 주어진 조건을 만족하고 $\displaystyle a_1=11$이다.

ii) $\displaystyle a_5$가 짝수인 경우:이 경우 $\displaystyle a_4$가 홀수인 경우와 짝수인 경우로 나누어 살펴보자.1) $\displaystyle a_4$가 홀수인 경우:$\displaystyle a_5=(a_3+a_4)/2$이고 $\displaystyle a_6=3(a_4+a_5)+1$이 성립한다.따라서 $\displaystyle 2a_5=19+a_4,\quad a_4+a_5=7$이다. 그러므로 $\displaystyle 3a_5=26$이다.이를 만족하는 양의 정수 $\displaystyle a_5$는 없으므로 주어진 조건을 만족하는 양의 정수 $\displaystyle a_1$은 없다.2) $\displaystyle a_4$가 짝수인 경우:$\displaystyle a_5=3(a_3+a_4)+1$이고 $\displaystyle a_6=(a_4+a_5)/2$을 만족한다.따라서 $\displaystyle a_5=3a_4+58,\quad a_4+a_5=44$이다. 그러므로 $\displaystyle 4a_4+14=0$이다.이를 만족하는 양의 정수 $\displaystyle a_4$는 없으므로 주어진 조건을 만족하는 양의 정수 $\displaystyle a_1$은 없다.

따라서 $\displaystyle A=\{11\}$이다.