자연계열 2번

$\displaystyle z=\alpha+\beta i$($\displaystyle \alpha,\;\beta$는 실수)라 하자. $\displaystyle 2z+9,\;-z-\frac34i$가 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 서로 다른 두 허근이므로 다음을 만족한다.$\displaystyle \overline{2z+9}=2\alpha+9-2\beta i=-\alpha-\left(\beta+\frac34\right)i=-z-\frac34i$따라서, $\displaystyle \alpha=-3,\;\beta=\frac34$이고, 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 두 허근은 $\displaystyle 3+\frac32i,\;3-\frac32i$이다.

방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 실근을 $\displaystyle a$라고 하면 함수 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle f(x)=b(x-a)\left(x^2-6x+\frac{45}{4}\right)\qquad(\text{단},\;b\ne0)$제시문 (ㄱ)의 조건 (1)로 부터$\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac{17}{2}b\left(\frac12-a\right)=\frac{17}{4}\quad\text{이므로}\quad b=\frac1{1-2a}$이것과 제시문 (ㄱ)의 조건 (2)로 부터$\displaystyle f^{\prime\prime}(a)=2b(2a-6)=-12\quad\text{이므로}\quad a-3=-3(1-2a)$따라서 $\displaystyle a=0,\;b=1$이고, 제시문 (ㄱ)의 함수 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(x)=x\left(x^2-6x+\frac{45}{4}\right)=x^3-6x^2+\frac{45}{4}x$

$\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+\frac{45}{4}x$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-12x+\frac{45}{4}=3\left(x-\frac32\right)\left(x-\frac52\right)$이 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle x=\frac32$ 또는 $\displaystyle x=\frac52$이다.닫힌구간 $\displaystyle [1,2]$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}x&1&\cdots&\frac32&\cdots&2\\\hline f^{\prime}(x)&&+&0&-&\\\hline f(x)&\frac{25}{4}&\nearrow&\frac{27}{4}&\searrow&\frac{26}{4}\end{array}$따라서 $\displaystyle 1\leq x\leq2$일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$는 다음의 범위를 갖는다.$\displaystyle \frac{25}{4}\leq f(x)\leq\frac{27}{4}$

함수 $\displaystyle h(t)=t+\frac{36}{t}$라고 하면, $\displaystyle g(x)=h(f(x))$이다. 따라서, 제시문 (ㄴ)의 최댓값 $\displaystyle M$은 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac{25}{4},\frac{27}{4}\right]$에서 함수 $\displaystyle h(t)$의 최댓값과 같고 최솟값 $\displaystyle m$은 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac{25}{4},\frac{27}{4}\right]$에서 함수 $\displaystyle h(t)$의 최솟값과 같다.$\displaystyle \frac{25}{4}\leq t\leq\frac{27}{4}$일 때, $\displaystyle h^{\prime}(t)=1-\frac{36}{t^2}>0$이므로 함수 $\displaystyle h(t)$는 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac{25}{4},\frac{27}{4}\right]$에서 증가한다.따라서 함수 $\displaystyle g(x)$의 최댓값 $\displaystyle M$과 최솟값 $\displaystyle m$은 다음과 같다.$\displaystyle M=h\left(\frac{27}{4}\right)=\frac{27}{4}+\frac{16}{3}=\frac{145}{12},\qquad m=h\left(\frac{25}{4}\right)=\frac{25}{4}+\frac{144}{25}=\frac{1201}{100}$