의예과 1번

시합이 짝수번의 게임에서 끝날 경우와 홀수번의 경우에서 끝날 때로 나누어 생각한다.(1) $\displaystyle 2n$번에 게임에서 수아가 승리할 경우는 (○는 수아 승리, ×는 은우 승리)$\displaystyle \circ\times\circ\times\circ\cdots\times\circ\circ$(×○가 $\displaystyle n-1$번)이므로 그 확률은$\displaystyle \frac35\left(\frac25\times\frac13\right)^{n-1}\frac35=\frac9{25}\left(\frac2{15}\right)^{n-1},\;(n\geq1)$

(2) $\displaystyle 2n+1$번에 게임에서 수아가 승리할 경우는$\displaystyle \times\circ\times\circ\cdots\times\circ\circ$(×○가 $\displaystyle n$번)이므로 그 확률은$\displaystyle \left(\frac25\times\frac13\right)^n\frac35=\frac35\left(\frac2{15}\right)^n,\;(n\geq1)$

따라서 구하는 확률 $\displaystyle p$는$\displaystyle p=\sum_{n=1}^{\infty}\frac9{25}\left(\frac2{15}\right)^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac35\left(\frac2{15}\right)^n=\frac9{25}\frac1{1-\frac2{15}}+\frac35\frac{\frac2{15}}{1-\frac2{15}}=\frac{33}{65}$

또 $\displaystyle 2020$번의 게임에서 시합이 끝났을 때 수아가 승리할 확률은 위 (1)에서 $\displaystyle \frac9{25}\left(\frac2{15}\right)^{1009}$이고, 은우가 승리할 경우는$\displaystyle \times\circ\times\circ\cdots\times\circ\times\times$ (×○가 $\displaystyle 1009$번)이므로 그 확률은$\displaystyle \left(\frac25\times\frac13\right)^{1009}\frac25\frac23=\frac4{15}\left(\frac2{15}\right)^{1009}$

따라서 구하는 조건부확률 $\displaystyle q$는$\displaystyle q=\frac{\frac9{25}\left(\frac2{15}\right)^{1009}}{\frac9{25}\left(\frac2{15}\right)^{1009}+\frac4{15}\left(\frac2{15}\right)^{1009}}=\frac{27}{47}$이다.