의예과 3번

$\displaystyle 2^n+61=(2^n-2)\left(1+\frac{A}{m_1}\right)\left(1+\frac1{2^n+k_1}\right)$에서$\displaystyle 1+\frac{63}{2^n-2}=\left(1+\frac{A}{m_1}\right)\left(1+\frac1{2^n+k_1}\right)$양변에 $\displaystyle 2^n+k_1$을 곱하면$\displaystyle (2^n+k_1)\left(1+\frac{63}{2^n-2}\right)=\left(1+\frac{A}{m_1}\right)(2^n+k_1+1)$

$\displaystyle (\text{좌변})=\frac{2^n+k_1}{2^n-2}(2^n+61)=\left(1+\frac{k_1+2}{2^n-2}\right)(2^n+61)$이 되고 $\displaystyle k_1=60$이면 $\displaystyle \frac{A}{m_1}=\frac{31}{2^{n-1}-1}$이 되어 우변과 같아지고 주어진 조건을 만족한다.

또한,$\displaystyle 1+\frac{A}{m_1}=1+\frac{31}{2^{n-1}-1}=\left(1+\frac{B}{m_2}\right)\left(1+\frac1{2^{n-1}-k_2}\right)$에서 양변에 $\displaystyle 2^{n-1}-k_2$를 곱하면$\displaystyle (2^{n-1}-k_2)\left(1+\frac{31}{2^{n-1}-1}\right)=\left(1+\frac{B}{m_2}\right)(2^{n-1}-k_2+1)$이 되고

이 식을 전개하여 정리하면$\displaystyle (2^{n-1}-k_2)\frac{31}{2^{n-1}-1}=1+\frac{B(2^{n-1}-k_2+1)}{m_2}$이 된다. 따라서$\displaystyle \frac{B}{m_2}=\frac1{2^{n-1}-k_2+1}\left(\frac{31(2^{n-1}-k_2)}{2^{n-1}-1}-1\right)$를 만족하고, $\displaystyle k_2=1$이면$\displaystyle \frac{B}{m_2}=\frac{30}{2^{n-1}}=\frac{15}{2^{n-2}}$가 되어 주어진 조건을 만족한다.

$\displaystyle 1+\frac{B}{m_2}=1+\frac{15}{2^{n-2}}=\left(1+\frac{C}{m_3}\right)\left(1+\frac1{2^{n-2}+k_3}\right)$에서 양변에 $\displaystyle 2^{n-2}+k_3$을 곱하면$\displaystyle (2^{n-2}+k_3)\left(1+\frac{15}{2^{n-2}}\right)=\left(1+\frac{C}{m_3}\right)(2^{n-2}+k_3+1)$이 되고

$\displaystyle (\text{좌변})=\frac{2^{n-2}+k_3}{2^{n-2}}(2^{n-2}+15)=\left(1+\frac{k_3}{2^{n-2}}\right)(2^{n-2}+15)$이므로 $\displaystyle k_3=14$이면 $\displaystyle \frac{C}{m_3}=\frac{14}{2^{n-2}}=\frac7{2^{n-3}}$이 되어 주어진 조건을 만족한다.따라서 $\displaystyle k_1=60,k_2=1,k_3=14$이다.