논제 1.
+10점 · 제시문 (ㄱ)의 (가)에 의해서f(x)=(x−2)(2x2−2kx+k2−6)실수 α,β에 대하여 z=α+βi라 하자. 제시문 (ㄱ)의 (다)에 의해서3α−1−3βi=3z−1=2z−35i=2α+(2β−35)i이 되고 α=1,β=31이다. 따라서 방정식 f(x)=0의 한 허근은 3z−1=2+i이다.제시문 (ㄱ)의 (가)에 의해서f(x)=(x−2)(2x2−2kx+k2−6)실수 α,β에 대하여 z=α+βi라 하자. 제시문 (ㄱ)의 (다)에 의해서3α−1−3βi=3z−1=2z−35i=2α+(2β−35)i이 되고 α=1,β=31이다. 따라서 방정식 f(x)=0의 한 허근은 3z−1=2+i이다.
+5점 · f(2+i)=i(2(3+4i)−2k(2+i)+k2−6)=(k−4)(2+ki)=0
이므로 k=4이다.f(2+i)=i(2(3+4i)−2k(2+i)+k2−6)=(k−4)(2+ki)=0이므로 k=4이다.
논제 2.
+3점 · f(x)=2x3−12x2+26x−20이므로f′(x)=6x2−24x+26=6(x−2)2+2>0이다. 따라서 모든 실수 x에 대하여−3x2+12x−13≤ax2−2(a+3)x+11≤3x2−12x+13즉,{(3−a)x2−2(3−a)x+2≥0(a+3)x2−2(a+9)x+24≥0을 만족시키는 모든 실수 a의 값의 집합이 S이다.f(x)=2x3−12x2+26x−20이므로f′(x)=6x2−24x+26=6(x−2)2+2>0이다. 따라서 모든 실수 x에 대하여−3x2+12x−13≤ax2−2(a+3)x+11≤3x2−12x+13즉,{(3−a)x2−2(3−a)x+2≥0(a+3)x2−2(a+9)x+24≥0을 만족시키는 모든 실수 a의 값의 집합이 S이다.
+4점 · 1) a=3인 경우
모든 실수 x에 대하여
(3−a)x2−2(3−a)x+2=2≥0이고
(a+3)x2−2(a+9)x+24=6(x−2)2≥0이다.
따라서 a=3은 집합 S의 원소이다.
2) a=−3인 경우
x=3일 때, (a+3)x2−2(a+9)x+24=−12(x−2)=−12<0이다.
따라서 a=−3은 집합 S의 원소가 아니다.1) a=3인 경우모든 실수 x에 대하여(3−a)x2−2(3−a)x+2=2≥0이고(a+3)x2−2(a+9)x+24=6(x−2)2≥0이다.따라서 a=3은 집합 S의 원소이다.
2) a=−3인 경우x=3일 때, (a+3)x2−2(a+9)x+24=−12(x−2)=−12<0이다.따라서 a=−3은 집합 S의 원소가 아니다.
+6점 · 3) a=3,a=−3인 경우모든 실수 x에 대하여 위의 두 이차부등식이 성립하기 위한 조건은3−a>0,(3−a)2−2(3−a)=(a−1)(a−3)≤0이고a+3>0,(a+9)2−24(a+3)=(a−3)2≤0이다. 따라서 a=3,a=−3인 실수 a는 집합 S의 원소가 아니다.3) a=3,a=−3인 경우모든 실수 x에 대하여 위의 두 이차부등식이 성립하기 위한 조건은3−a>0,(3−a)2−2(3−a)=(a−1)(a−3)≤0이고a+3>0,(a+9)2−24(a+3)=(a−3)2≤0이다. 따라서 a=3,a=−3인 실수 a는 집합 S의 원소가 아니다.
+2점 · 1), 2), 3)에 의해서 S={3}.1), 2), 3)에 의해서 S={3}.
수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.