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자연계열 1번

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가톨릭대 2023학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/catholic/2023su/jayeon_1

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문제

[문항 1] 제시문 (ㄱ)~(ㄴ)을 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (30점)

(ㄱ) 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 실수 k\displaystyle k, 복소수 z\displaystyle z는 다음 조건을 만족시킨다. (단, i=−1\displaystyle i=\sqrt{-1})

(가) f(x)=2x3−2(k+2)x2+(k2+4k−6)x−2k2+12\displaystyle f(x)=2x^3-2(k+2)x^2+(k^2+4k-6)x-2k^2+12

(나) 3z−1\displaystyle 3z-1은 방정식 f(x)=0\displaystyle f(x)=0의 한 허근이다.

(다) 3z−1\displaystyle 3z-1은 2z−53i\displaystyle 2z-\frac53i의 켤레복소수이다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 a\displaystyle a의 값의 집합을 S\displaystyle S라 하자.

모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 ∣ax2−2(a+3)x+11∣≤∣f′(x)∣2\displaystyle |ax^2-2(a+3)x+11|\leq\frac{|f^{\prime}(x)|}{2}이다.

논제 1. (15점) 제시문 (ㄱ)의 k\displaystyle k의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

논제 2. (15점) 제시문 (ㄴ)의 집합 S\displaystyle S를 구하고 그 근거를 논술하시오.

해설강의 준비중

가톨릭대 2023학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/catholic/2023su/jayeon_1

논제 1.

+10점

제시문 (ㄱ)의 (가)에 의해서f(x)=(x−2)(2x2−2kx+k2−6)\displaystyle f(x)=(x-2)(2x^2-2kx+k^2-6)실수 α,β\displaystyle \alpha,\beta에 대하여 z=α+βi\displaystyle z=\alpha+\beta i라 하자. 제시문 (ㄱ)의 (다)에 의해서3α−1−3βi=3z−1‾=2z−53i=2α+(2β−53)i\displaystyle 3\alpha-1-3\beta i=\overline{3z-1}=2z-\frac53i=2\alpha+\left(2\beta-\frac53\right)i이 되고 α=1,  β=13\displaystyle \alpha=1,\;\beta=\frac13이다. 따라서 방정식 f(x)=0\displaystyle f(x)=0의 한 허근은 3z−1=2+i\displaystyle 3z-1=2+i이다.

+5점

f(2+i)=i(2(3+4i)−2k(2+i)+k2−6)=(k−4)(2+ki)=0\displaystyle f(2+i)=i(2(3+4i)-2k(2+i)+k^2-6)=(k-4)(2+ki)=0이므로 k=4\displaystyle k=4이다.

논제 2.

+3점

f(x)=2x3−12x2+26x−20\displaystyle f(x)=2x^3-12x^2+26x-20이므로f′(x)=6x2−24x+26=6(x−2)2+2>0\displaystyle f^{\prime}(x)=6x^2-24x+26=6(x-2)^2+2>0이다. 따라서 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여−3x2+12x−13≤ax2−2(a+3)x+11≤3x2−12x+13\displaystyle -3x^2+12x-13\leq ax^2-2(a+3)x+11\leq3x^2-12x+13즉,{(3−a)x2−2(3−a)x+2≥0(a+3)x2−2(a+9)x+24≥0\displaystyle \begin{cases}(3-a)x^2-2(3-a)x+2\geq0\\(a+3)x^2-2(a+9)x+24\geq0\end{cases}을 만족시키는 모든 실수 a\displaystyle a의 값의 집합이 S\displaystyle S이다.

+4점

1) a=3\displaystyle a=3인 경우모든 실수 x\displaystyle x에 대하여(3−a)x2−2(3−a)x+2=2≥0\displaystyle (3-a)x^2-2(3-a)x+2=2\geq0이고(a+3)x2−2(a+9)x+24=6(x−2)2≥0\displaystyle (a+3)x^2-2(a+9)x+24=6(x-2)^2\geq0이다.따라서 a=3\displaystyle a=3은 집합 S\displaystyle S의 원소이다.

2) a=−3\displaystyle a=-3인 경우x=3\displaystyle x=3일 때, (a+3)x2−2(a+9)x+24=−12(x−2)=−12<0\displaystyle (a+3)x^2-2(a+9)x+24=-12(x-2)=-12<0이다.따라서 a=−3\displaystyle a=-3은 집합 S\displaystyle S의 원소가 아니다.

+6점

3) a≠3,  a≠−3\displaystyle a\ne3,\;a\ne-3인 경우모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 위의 두 이차부등식이 성립하기 위한 조건은3−a>0,(3−a)2−2(3−a)=(a−1)(a−3)≤0\displaystyle 3-a>0,\quad(3-a)^2-2(3-a)=(a-1)(a-3)\leq0이고a+3>0,(a+9)2−24(a+3)=(a−3)2≤0\displaystyle a+3>0,\quad(a+9)^2-24(a+3)=(a-3)^2\leq0이다. 따라서 a≠3,  a≠−3\displaystyle a\ne3,\;a\ne-3인 실수 a\displaystyle a는 집합 S\displaystyle S의 원소가 아니다.

+2점

1), 2), 3)에 의해서 S={3}\displaystyle S=\{3\}.

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