의예과 1번

모든 실수 $\displaystyle x$에 대해, $\displaystyle \log_{(\frac12k-5)}(-(k-11)x^2+(k-11)x+2)$가 정의되기 위한 실수 $\displaystyle k$는 ① $\displaystyle \frac12k-5>0,\;\frac12k-5\ne1$, ② 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해, $\displaystyle -(k-11)x^2+(k-11)x+2>0$이 성립해야 한다.① $\displaystyle \frac12k-5>0,\;\frac12k-5\ne1\;\Rightarrow\;k>10,\;k\ne12$② ㉠ $\displaystyle k\ne11$일 때$\displaystyle -(k-11)>0$이고 $\displaystyle D=(k-11)^2-4(-2(k-11))=(k-3)(k-11)<0$이므로 $\displaystyle 3<k<11$이다.

㉡ $\displaystyle k=11$일 때$\displaystyle -(k-11)x^2+(k-11)x+2=2>0$이 성립한다.따라서, ㉠, ㉡에 의해 이를 만족하는 실수 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle 3<k\leq11$이다.①, ②에 의해, 집합 $\displaystyle A=\{k\mid10<k\leq11\}$이다.

제시문 (ㄴ)의 집합 $\displaystyle B$의 정의에 의해, $\displaystyle n>1$이면서 집합 $\displaystyle B$의 원소인 정수의 순서쌍 $\displaystyle (m,n)$은$\displaystyle 10<\frac13m^2+n\leq11\quad\Rightarrow\quad10-\frac13m^2<n\leq11-\frac13m^2$을 만족시키므로, 집합 $\displaystyle B$에 속하는 원소를 모두 나열해보면 다음과 같다.$\displaystyle m=0:\quad10<n\leq11\quad\Rightarrow\quad n=11$$\displaystyle m=\pm1:\quad\frac{29}{3}<n\leq\frac{32}{3}\quad\Rightarrow\quad n=10$$\displaystyle m=\pm2:\quad\frac{26}{3}<n\leq\frac{29}{3}\quad\Rightarrow\quad n=9$$\displaystyle m=\pm3:\quad7<n\leq8\quad\Rightarrow\quad n=8$$\displaystyle m=\pm4:\quad\frac{14}{3}<n\leq\frac{17}{3}\quad\Rightarrow\quad n=5$$\displaystyle m=\pm5:\quad\frac53<n\leq\frac83\quad\Rightarrow\quad n=2$한편, 제시문 (ㄷ)의 집합 $\displaystyle C$의 정의에 의해, 순서쌍 $\displaystyle (m,n)\in B$이 집합 $\displaystyle C$의 원소이기 위해서는, $\displaystyle m$의 $\displaystyle n$제곱근 중 실수가 존재해야 한다.

㉠ $\displaystyle m=0$인 경우$\displaystyle 0$의 $\displaystyle n$제곱근은 임의의 정수 $\displaystyle n$에 대해서 $\displaystyle 0$이므로, $\displaystyle (0,11)$은 $\displaystyle C$의 원소이다.㉡ $\displaystyle m\ne0$인 경우ⓐ $\displaystyle n$이 짝수일 때$\displaystyle n$이 짝수일 경우, $\displaystyle m$의 $\displaystyle n$제곱근 중 실수는 $\displaystyle m>0$일 때 존재한다. 따라서, 집합 $\displaystyle B$에 속하는 정수의 순서쌍 $\displaystyle (m,n)$중, $\displaystyle n$이 짝수이면서 $\displaystyle n>1$인 경우를 생각해보면 다음과 같다.$\displaystyle n=2$일 때, $\displaystyle m=5\;\Rightarrow\;(5,2)$$\displaystyle n=8$일 때, $\displaystyle m=3\;\Rightarrow\;(3,8)$$\displaystyle n=10$일 때, $\displaystyle m=1\;\Rightarrow\;(1,10)$ⓑ $\displaystyle n$이 홀수일 때$\displaystyle n$이 홀수일 경우, $\displaystyle m$의 $\displaystyle n$제곱근 중 실수는 유일하게 하나 존재한다. 따라서, 집합 $\displaystyle B$에 속하는 정수의 순서쌍 $\displaystyle (m,n)$중, $\displaystyle n$이 홀수인 경우를 생각해보면 다음과 같다.$\displaystyle n=5$일 때, $\displaystyle m=\pm4\;\Rightarrow\;(-4,5),\;(4,5)$$\displaystyle n=9$일 때, $\displaystyle m=\pm2\;\Rightarrow\;(-2,9),\;(2,9)$

따라서, 집합 $\displaystyle C$의 원소의 개수는 $\displaystyle 8$개이다.