의예과 3번

$\displaystyle F(x)=x,\;G(x)=\frac1{(1+x^4)^{1/4}}$라 하자. 부분적분법에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^t\frac1{(1+x^4)^{1/4}}dx&=\int_0^tF^{\prime}(x)G(x)dx\\&=\Biggl[F(x)G(x)\Biggr]_0^t-\int_0^tF(x)G^{\prime}(x)dx\\&=\Biggl[\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}\Biggr]_0^t+\int_0^t\frac{x^4}{(1+x^4)^{5/4}}dx\end{aligned}$

따라서, 제시문 (ㄱ)의 함수는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}f(t)&=\int_0^t\frac1{(1+x^4)^{1/4}}dx-\int_0^t\frac{x^4}{(1+x^4)^{1/4}}dx\\&=\Biggl[\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}\Biggr]_0^t+\int_0^t\frac{x^4}{(1+x^4)^{1/4}}dx-\int_0^t\frac{x^4}{(1+x^4)^{1/4}}dx=\frac{t}{(1+t^4)^{1/4}}\end{aligned}$Correction. 이 계산에서 분자 $\displaystyle x^4$인 항의 분모는 제시문과 부분적분식에 따라 $\displaystyle (1+x^4)^{5/4}$이어야 한다. 원문은 해당 지수를 반복해서 $\displaystyle 1/4$로 적었다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle f(t)$가 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle f(t)\geq0$이므로 제시문 (ㄷ)의 $\displaystyle s$는$\displaystyle \begin{aligned}s&=\int_0^1|v(t)|dx=\int_0^1v(t)dx\\&=\int_0^1\frac{3t^3}{(1+t^4)^{1/4}}dt+\int_0^13t^2dt=\int_0^1\frac{3t^3}{(1+t^4)^{1/4}}dt+1\end{aligned}$Correction. 속도 $\displaystyle v(t)$를 시간에 대해 적분하므로 이 줄의 두 $\displaystyle dx$는 $\displaystyle dt$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.위의 적분에서 $\displaystyle u=1+t^4$로 치환하면 치환적분법에 의해서$\displaystyle \int_0^1\frac{3t^3}{(1+t^4)^{1/4}}dt=\frac34\int_1^2u^{-1/4}du=\Biggl[u^{3/4}\Biggr]_1^2=2^{3/4}-1$이므로,$\displaystyle s=\int_0^1\frac{3t^3}{(1+t^4)^{1/4}}dt+1=2^{3/4}$

따라서 $\displaystyle s^4=8$