의예과 2번

두 원에 동시에 접하는 직선을 $\displaystyle y=ax+b$이라 표현하면, 원 $\displaystyle C_1:\;(x-1)^2+y^2=\frac15$과의 거리가 $\displaystyle \frac1{\sqrt5}$이고 원 $\displaystyle C_2:\;(x+2)^2+(y+3)^2=\frac45$와의 거리가 $\displaystyle \frac2{\sqrt5}$이므로 두 식$\displaystyle \frac{|a+b|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac1{\sqrt5},\quad\frac{|-2a+b+3|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac2{\sqrt5}$를 만족시킨다. 즉,$\displaystyle 2|a+b|=|-2a+b+3|,\;5(a+b)^2=(a^2+1)$을 만족하는 $\displaystyle a,b$의 쌍을 구하면 두 원에 접하는 접선을 모두 찾을 수 있다.

i) $\displaystyle 2(a+b)=(-2a+b+3)$인 경우, $\displaystyle b=-4a+3$이므로 이를 두 번째 식에 대입하면 $\displaystyle 44a^2-90a+44=0$을 얻을 수 있고, $\displaystyle a=\frac{45\pm\sqrt{45^2-44^2}}{44}=\frac{45\pm\sqrt{89}}{44}$이다.ii) $\displaystyle 2(a+b)=(2a-b-3)$인 경우, $\displaystyle b=-1$이므로 이를 대입하면 $\displaystyle a=2$ 혹은 $\displaystyle \frac12$이다.따라서 $\displaystyle 2>\frac{45+\sqrt{89}}{44}>\frac{45-\sqrt{89}}{44}>\frac12$이므로 직선 $\displaystyle l$은 $\displaystyle y=2x-1$, 직선 $\displaystyle m$은 $\displaystyle y=\frac12x-1$이다.

이제 $\displaystyle f(t)=\sin(\angle\mathrm{P_1A_1Q_1})$을 구해보자. 사인법칙에 의해 $\displaystyle \sin(\angle\mathrm{P_1A_1Q_1})=\frac{\sqrt5}{2}\overline{\mathrm{P_1Q_1}}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{P_1Q_1}}$과 원 $\displaystyle C_1$의 중심 사이의 거리는 점과 직선의 거리에 의해 $\displaystyle \frac{|\frac12-1+t|}{\sqrt{\frac14+1}}=\frac{|2t-1|}{\sqrt5}$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{P_1Q_1}}=2\sqrt{\frac15-\frac{(2t-1)^2}{5}}=\frac{4\sqrt{t-t^2}}{\sqrt5}$이다. 즉, $\displaystyle f(t)=2\sqrt{t-t^2}$이다.$\displaystyle g(t)=\sin(\angle\mathrm{P_2A_2Q_2})$의 경우 $\displaystyle \sin(\angle\mathrm{P_2A_2Q_2})=\frac{\sqrt5}{4}\overline{\mathrm{P_2Q_2}}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{P_2Q_2}}$와 원 $\displaystyle C_2$의 중심 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|-4-1+t+3|}{\sqrt{4+1}}=\frac{|t-2|}{\sqrt5}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{P_2Q_2}}=2\sqrt{\frac45-\frac{(t-2)^2}{5}}=\frac{2\sqrt{4t-t^2}}{\sqrt5}$이고, $\displaystyle g(t)=\frac{\sqrt{4t-t^2}}2$이다.

따라서 제시문 (ㄹ)의 함수는 $\displaystyle y=f(t)g(t)=\sqrt{(t-t^2)(4t-t^2)}$이다. 4차함수 $\displaystyle (t-t^2)(4t-t^2)$와 함수의 증감이 동일하므로 미분이 $\displaystyle 0$이 되는 $\displaystyle t$를 찾으면 $\displaystyle 8t-15t^2+4t^3=0$에서 $\displaystyle t=0,\;\frac{15\pm\sqrt{97}}8$이다. 즉, $\displaystyle y=f(t)g(t)$의 증감표는 정의역 $\displaystyle (0,1)$에서 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccc}t&\cdots&\frac{15-\sqrt{97}}8&\cdots\\\hline f(t)g(t)&\nearrow&\text{최댓값}&\searrow\end{array}$따라서 $\displaystyle M=\frac{15-\sqrt{97}}8$이다.