의예과 4번

제시문 (ㄱ)의 (다)는 범위에 포함되는 $\displaystyle x$와 $\displaystyle 1\leq k\leq5n$인 모든 자연수에 대하여$\displaystyle \frac1k\ln\frac{k}{x}\leq\frac1n\ln\frac{n}{x}$이 성립함을 말한다. 그런데, 자연수 $\displaystyle k$와 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle \frac1k\ln\frac{k}{x}-\frac1{k+1}\ln\frac{k+1}{x}=\frac1{k(k+1)}\ln\frac{k^{k+1}}{(k+1)^kx}$ ······································(*)이므로, $\displaystyle x\leq\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}$이면 $\displaystyle \frac1k\ln\frac{k}{x}\geq\frac1{k+1}\ln\frac{k+1}{x}$이고, $\displaystyle x>\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}$이면 $\displaystyle \frac1k\ln\frac{k}{x}<\frac1{k+1}\ln\frac{k+1}{x}$이다. 이 때,$\displaystyle \frac{(k-1)^k}{k^{k-1}}\Big/\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}=\left(\frac{k^2-1}{k^2}\right)^k<1$ ······································(**)이므로 $\displaystyle \frac{(k-1)^k}{k^{k-1}}<\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}$이 성립하여, $\displaystyle k$가 증가함에 따라 $\displaystyle \frac1k\ln\frac{k}{x}$는 증가하다가 감소하는 형태가 된다.

따라서, 제시문 (ㄱ)의 (다)가 성립하려면, $\displaystyle \frac1k\ln\frac{k}{x}$이 $\displaystyle 1\leq k\leq n$에서 증가하고, $\displaystyle n\leq k\leq5n$에서는 감소해야 한다. 식 (*)에 $\displaystyle k=n$을 넣으면 $\displaystyle x\leq\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}$인 경우,$\displaystyle \frac1n\ln\frac{n}{x}\geq\frac1{n+1}\ln\frac{n+1}{x}\geq\frac1{n+2}\ln\frac{n+2}{x}\geq\cdots\geq\frac1{5n}\ln\frac{5n}{x}$임을 알 수 있다. 역시, 식 (*)에 $\displaystyle k=n-1$을 넣으면 $\displaystyle \frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}<x$인 경우,$\displaystyle \frac1n\ln\frac{n}{x}>\frac1{n-1}\ln\frac{n-1}{x}>\frac1{n-2}\ln\frac{n-2}{x}>\cdots>\ln\frac1x$가 된다.

또한 (**)에 의하여 $\displaystyle \frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}<\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}$ [제시문 (ㄱ)의 (나)]이므로, $\displaystyle a_n=\frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}$이다.

$\displaystyle \left(\frac{a_n}{n}\right)^{1/n}=\frac{n-1}{n},\;\left(\frac{a_{n+1}}{n}\right)^{1/n}=\frac{n}{n+1}$이므로, $\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\left(\frac{a_{n+1}}{n}\right)^{1/n}-\left(\frac{a_n}{n}\right)^{1/n}\right\}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=1$이다.