자연계열 2번

$\displaystyle \int_0^tf(5+x)dx=\int_0^tf(5-x)dx$의 양변을 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle f(5+t)=f(5-t)$이다.$\displaystyle g(x)=f(x+5)$라 하면 $\displaystyle g(x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 사차함수이므로$\displaystyle g(x)=x^4+c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$이다.그런데, 임의의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle g(t)=f(t+5)=f(5-t)=g(-t)$, 즉 $\displaystyle t(c_3t^2+c_1)=0$이다. $\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle c_3+c_1=0$이고, $\displaystyle t=2$일 때 $\displaystyle 4c_3+c_1=0$이므로 $\displaystyle c_3=c_1=0$이다.따라서 $\displaystyle g(x)=x^4+c_2x^2+c_0$이다.$\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle -5$만큼 평행이동한 그래프이므로 제시문 (ㄱ)의 (가)와 (다)에 의해 $\displaystyle g(-5)=0$이고 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=5$에서 극값을 가진다.그러므로 $\displaystyle g(-5)=625+25c_2+c_0=0,\;g^{\prime}(5)=500+10c_2=0$, 즉 $\displaystyle c_2=-50,\;c_0=625$이다.따라서 $\displaystyle g(x)=x^4-50x^2+625=(x^2-25)^2=(x-5)^2(x+5)^2$,$\displaystyle f(x)=g(x-5)=x^2(x-10)^2$이다.

함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0,\;10$에서 극솟값 $\displaystyle f(0)=f(10)=0$을 가지고, $\displaystyle x=5$에서 극댓값 $\displaystyle f(5)=625$를 갖는다. 따라서 방정식 $\displaystyle x^2(x-10)^2=k$의 서로 다른 양의 실근의 개수는 $\displaystyle 0<k<625$일 때 $\displaystyle 3$이고, $\displaystyle k>625$일 때 $\displaystyle 1$이다. 그러므로 $\displaystyle M=625$이다.

$\displaystyle f(a)=f(b)=f(c)=k$라 하자. $\displaystyle a,b,c$가 방정식 $\displaystyle f(x)=k$, 즉 $\displaystyle x^2(x-10)^2=k$의 서로 다른 세 양의 실근이므로 $\displaystyle 0<k<625$이다.$\displaystyle g(x)=f(x+5)=(x^2-25)^2=x^4-50x^2+625$라 하면, 함수 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle x=-5,\;x=5$에서 극솟값 $\displaystyle g(-5)=g(5)=0$을 가지고 $\displaystyle x=0$에서 극댓값 $\displaystyle g(0)=625$를 가진다. 그러므로 방정식 $\displaystyle g(x)=k$는 서로 다른 네 실근 $\displaystyle -\beta,\;-\alpha,\;\alpha,\;\beta$ (단, $\displaystyle 0<\alpha<5<\beta$)를 갖는다. 따라서$\displaystyle g(x)-k=(x-\alpha)(x+\alpha)(x-\beta)(x+\beta)=x^4-(\alpha^2+\beta^2)x^2+\alpha^2\beta^2$이다. 또한 $\displaystyle g(x)-k=x^4-50x^2+625-k$이므로 $\displaystyle \alpha^2+\beta^2=50,\;\alpha^2\beta^2=625-k$이다.$\displaystyle f(5-\beta)=g(-\beta)=k,\quad f(5-\alpha)=g(-\alpha)=k,\quad f(5+\alpha)=g(\alpha)=k,\quad f(5+\beta)=g(\beta)=k$이므로 방정식 $\displaystyle f(x)=k$의 서로 다른 네 실근은 $\displaystyle 5-\beta,\;5-\alpha,\;5+\alpha,\;5+\beta$이다. $\displaystyle 0<\alpha<5<\beta$이므로 $\displaystyle 5-\beta<0<5-\alpha<5+\alpha<5+\beta$가 되어 $\displaystyle a=5-\alpha,\;b=5+\alpha,\;c=5+\beta$이다.

제시문 (ㄷ)의 (다)에 의해 $\displaystyle c-a=\sqrt{70}$이므로$\displaystyle 2\alpha\beta=(\alpha+\beta)^2-(\alpha^2+\beta^2)=(c-a)^2-50=20$, 즉 $\displaystyle \alpha\beta=10$이다.따라서 $\displaystyle 100=\alpha^2\beta^2=625-k$이고, $\displaystyle f(a)=k=525$이다.