자연계열 3번

원 $\displaystyle x^2+y^2=9$ 위의 한 점 $\displaystyle (a,b)$에서의 접선이 점 $\displaystyle \mathrm{A}$를 지난다고 하자. 접선의 방정식은 $\displaystyle ax+by=9$이고, 이 접선이 점 $\displaystyle \mathrm{A}(-5,0)$을 지나므로 $\displaystyle -5a=9$이다. 즉, $\displaystyle a=-\frac95$이다.점 $\displaystyle (a,b)$는 원 위에 있으므로 $\displaystyle a^2+b^2=9$이고, $\displaystyle b=\pm\frac{12}{5}$이다.제시문 (ㄱ)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{C}\left(-\frac95,\frac{12}{5}\right)$이고 $\displaystyle \mathrm{D}\left(-\frac95,-\frac{12}{5}\right)$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{10}$이고 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle 3x-y+15=0$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{C},\mathrm{D}$에서 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$까지의 거리는 각각$\displaystyle \frac{|-27-12+75|}{5\sqrt{10}}=\frac{36}{5\sqrt{10}},\quad\frac{|-27+12+75|}{5\sqrt{10}}=\frac{12}{\sqrt{10}}$이다.따라서 $\displaystyle S=\frac12\times\sqrt{10}\times\frac{12}{\sqrt{10}}=6$

두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$의 중점을 $\displaystyle \mathrm{R}(c,d)$라 하자. 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$에 대해 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OQ}}=3\sqrt2$인 이등변삼각형이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{OR}$은 수직이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OR}}^2+\overline{\mathrm{RP}}^2=18$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{OR}}=3$이다.따라서 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$는 원 $\displaystyle x^2+y^2=9$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{R}(c,d)$에서의 접선, $\displaystyle cx+dy=9$와 같다.논제 1에서 $\displaystyle c=-\frac95$이면 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{P},\mathrm{Q}$가 한 직선 위에 있으므로 $\displaystyle -3\leq c\leq3,\;c\ne-\frac95$이다.

역으로 원 $\displaystyle x^2+y^2=9$ 위의 한 점 $\displaystyle \mathrm{R}(c,d)$ (단, $\displaystyle -3\leq c\leq3,\;c\ne-\frac95$)에서의 접선이 원 $\displaystyle x^2+y^2=18$과 만나는 두 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$라 하면 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$는 제시문 (ㄷ)의 조건을 모두 만족시킨다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{APQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\overline{\mathrm{PQ}}\times\frac{|5c+9|}{\sqrt{c^2+d^2}}=|5c+9|$이므로 $\displaystyle -3\leq c\leq3,\;c\ne-\frac95$일 때 $\displaystyle |5c+9|$의 최댓값이 $\displaystyle M$이다. 따라서 $\displaystyle M=|5\times3+9|=24$이다.