자연계열 1번

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 세 각의 합은 $\displaystyle \pi$이므로 $\displaystyle \cos(B+C)=\cos(\pi-A)=-\cos A$이다.

한편, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=a,\;\overline{\mathrm{AC}}=b$라 하면, 사인법칙과 코사인법칙에 의해$\displaystyle \sin B=\frac b{2R},\;\sin C=\frac c{2R},\;\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\sin C\cos(B+C)+\sin B=0\quad&\Leftrightarrow\quad-\sin C\cos A+\sin B=0\\&\Leftrightarrow\quad-\frac c{2R}\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac b{2R}=0\\&\Leftrightarrow\quad c^2=a^2+b^2\end{aligned}$를 얻는다.

따라서 주어진 삼각형은 $\displaystyle C$가 직각인 직각삼각형이고, 사인법칙을 이용하면 $\displaystyle \frac cR=2\sin C=2$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=mx,\;\overline{\mathrm{PB}}=nx$ (단, $\displaystyle x>0$)라 하면, 내접원의 성질에 의해$\displaystyle \begin{aligned}a&=nx+2\\b&=mx+2\\c&=(m+n)x\end{aligned}$이고, $\displaystyle a,b,c$는 자연수이므로 $\displaystyle x$는 유리수여야 한다. (그림 참조)이를 $\displaystyle c^2=a^2+b^2$에 대입하면,$\displaystyle \begin{aligned}c^2=a^2+b^2\quad&\Leftrightarrow\quad(m+n)^2x^2=(nx+2)^2+(mx+2)^2\\&\Leftrightarrow\quad mnx^2-2(m+n)x-4=0\end{aligned}$을 얻는다.

이차방정식 $\displaystyle mnx^2-2(m+n)x-4=0$의 판별식을 $\displaystyle D$라 하면 $\displaystyle \frac D4=(m+n)^2+4mn$은 어떤 자연수의 제곱이어야 한다. $\displaystyle m,n$이 $\displaystyle 3$이하인 자연수이므로 가능한 모든 경우를 조사해보면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}(m,n)&(1,1)&(1,2),(2,1)&(1,3),(3,1)&(2,2)&(2,3),(3,2)&(3,3)\\\hline D/4&8&17&28&32&49&72\end{array}$따라서 $\displaystyle x$가 유리수가 되는 순서쌍은 $\displaystyle (2,3),(3,2)$이다. 이 때, $\displaystyle x$의 값을 계산해보면,$\displaystyle x=\frac{(m+n)\pm\sqrt{(m+n)^2+4mn}}{mn}=-\frac13,\;2$이고, $\displaystyle x$는 양수이므로 $\displaystyle x=2$이다.

따라서$\displaystyle m=3,\;n=2$이면 $\displaystyle a=nx+2=6$$\displaystyle m=2,\;n=3$이면, $\displaystyle a=nx+2=8$을 얻고, $\displaystyle a$의 값으로 가능한 것은 $\displaystyle 6,\;8$이다.