자연계열 2번

$\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$라고 하면, $\displaystyle f(x)+f(-x)=2bx^2+2d=4$이고,이 식은 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 성립하므로 $\displaystyle b=0,\;d=2$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=ax^3+cx+2$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3ax^2+c$이고$\displaystyle f^{\prime}(1)-f^{\prime}(0)=3a=-3$이므로 $\displaystyle a=-1$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(0)>0$이므로 $\displaystyle c>0$이다. 따라서$\displaystyle f^{\prime}(x)=-3x^2+c=0$은 두 실근 $\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac c3}$을 가지고, 함수 $\displaystyle f(x)$는$\displaystyle x=-\sqrt{\frac c3}$에서 극솟값 $\displaystyle f\left(-\sqrt{\frac c3}\right)=-\frac{2c\sqrt c}{3\sqrt3}+2$,$\displaystyle x=\sqrt{\frac c3}$에서 극댓값 $\displaystyle f\left(\sqrt{\frac c3}\right)=\frac{2c\sqrt c}{3\sqrt3}+2$를 갖는다. $\displaystyle c$는 양수이므로 극솟값은 $\displaystyle 2$보다 작고, 극댓값은 $\displaystyle 2$보다 크다.제시문 (ㄴ)에 의하여 $\displaystyle A(k)$는 $\displaystyle 3$ 이하의 자연수이다.

$\displaystyle A(20)=3$이면, 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle A(0)=3,\;A(10)=3$이 되지만, 조건 (나)를 만족시키지 않는다.Correction. 조건 (가)에서 비교하는 값은 $\displaystyle A(0),A(18),A(20)$이므로 이 줄의 $\displaystyle A(10)$은 $\displaystyle A(18)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle A(20)=2$이면, 조건 (나)를 만족시키는 경우는 $\displaystyle A(0)=3,\;A(18)=1$인데, 조건 (가)를 만족시키지 않는다.$\displaystyle A(20)=1$이면, $\displaystyle A(0)=3,\;A(18)=2$ 또는 $\displaystyle A(0)=2,\;A(18)=1$인 경우 조건 (가), (나)를 모두 만족시킨다.

i) $\displaystyle A(0)=2,A(18)=1,A(20)=1$인 경우함수 $\displaystyle f(x)$의 극솟값이나 극댓값이 $\displaystyle 0$이 되어야 하지만, 극댓값은 항상 $\displaystyle 2$보다 크므로, 극솟값이 $\displaystyle 0$이 되어야 한다. 이 경우, $\displaystyle -\frac{2c\sqrt c}{3\sqrt3}+2=0$에서 $\displaystyle c=3$이고 이때 극댓값은 $\displaystyle 4$이다.

따라서 $\displaystyle A(18)=1,A(20)=1$이 성립하고 $\displaystyle f(x)=-x^3+3x+2$이므로,$\displaystyle I=\int_0^2f(x)dx=\Biggl[-\frac14x^4+\frac32x^2+2x\Biggr]_0^2=6$이다.

ii) $\displaystyle A(0)=3,A(18)=2,A(20)=1$인 경우함수 $\displaystyle f(x)$의 극솟값이나 극댓값이 $\displaystyle 18$이 되어야 하지만, 극솟값은 항상 $\displaystyle 2$보다 작으므로, 극댓값이 $\displaystyle 18$이 되어야 한다. 극댓값이 $\displaystyle 18$이므로 $\displaystyle \frac{2c\sqrt c}{3\sqrt3}+2=18$에서 $\displaystyle c=12$이고 이때, 극솟값은 $\displaystyle -14$이다.

따라서 $\displaystyle A(0)=3,A(20)=1$이 성립하고 $\displaystyle f(x)=-x^3+12x+2$이므로,$\displaystyle I=\int_0^2f(x)dx=\Biggl[-\frac14x^4+6x^2+2x\Biggr]_0^2=24$이다.

따라서, $\displaystyle I$의 값으로 가능한 것은 $\displaystyle 6,\;24$이다.