의예과 1번

점 $\displaystyle \mathrm{P}\;(x,y)$에 대하여 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=(2t-\pi)\sin t,\;\frac{dy}{dt}=(2t-\pi)\cos t$이므로, 시간 $\displaystyle t$에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 속력은 다음과 같다.$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{\{(2t-\pi)\sin t\}^2+\{(2t-\pi)\cos t\}^2}=\sqrt{(2t-\pi)^2}=|2t-\pi|$점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle t=0$에서 속력은 $\displaystyle |2t-\pi|=\pi$이고, $\displaystyle t=a$에서의 속력은 $\displaystyle |2a-\pi|=3\pi$이므로 $\displaystyle a=2\pi$이다. 따라서 $\displaystyle s$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}s&=\int_0^{2\pi}|2t-\pi|\,dt=\int_0^{\pi/2}(\pi-2t)dt+\int_{\pi/2}^{2\pi}(2t-\pi)dt\\&=\Biggl[\pi t-t^2\Biggr]_0^{\pi/2}+\Biggl[t^2-\pi t\Biggr]_{\pi/2}^{2\pi}=\frac52\pi^2\end{aligned}$

시간 $\displaystyle t$에서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 속도는 $\displaystyle v(t)=(2t-\pi)\sin t$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 속도는 $\displaystyle u(t)=(2t-\pi)\cos t$이다.수직선을 따라 움직이는 점의 운동에서 속도의 부호는 점의 운동 방향을 나타내므로 두 점의 속도의 부호가 바뀌는 시각, 즉 운동 방향을 바꾸는 시간은 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$에 대하여 $\displaystyle \frac\pi2,\pi,2\pi,\cdots$이고, 점 $\displaystyle R$에 대하여 $\displaystyle \frac32\pi,\frac52\pi,\frac72\pi\cdots$이다. 따라서 $\displaystyle b=\pi,\;c=\frac52\pi$이다.

그러므로 $\displaystyle d$는$\displaystyle \begin{aligned}d&=\int_0^\pi|(2t-\pi)\sin t|dt=\int_0^{\pi/2}(\pi-2t)\sin t\,dt+\int_{\pi/2}^\pi(2t-\pi)\sin t\,dt\\&=-2\left\{\int_0^{\pi/2}t\sin t\,dt-\int_{\pi/2}^\pi t\sin t\,dt\right\}\end{aligned}$이고, 부분적분법을 이용하면, $\displaystyle \int t\sin t\,dt=t(-\cos t)-\int(-\cos t)dt=-t\cos t+\sin t$이므로,$\displaystyle d=-2\left\{\Biggl[-t\cos t+\sin t\Biggr]_0^{\pi/2}+\Biggl[t\cos t-\sin t\Biggr]_{\pi/2}^{\pi}\right\}=2\pi-4$이다.

또한 $\displaystyle l$은$\displaystyle \begin{aligned}l&=\int_0^{5\pi/2}|(2t-\pi)\cos t|dt=\int_0^{3\pi/2}(\pi-2t)\cos t\,dt+\int_{3\pi/2}^{5\pi/2}(2t-\pi)\cos t\,dt\\&=-3\pi-2\left\{\int_0^{3\pi/2}t\cos t\,dt-\int_{3\pi/2}^{5\pi/2}t\cos t\,dt\right\}\end{aligned}$이고, 부분적분법을 이용하면, $\displaystyle \int t\cos t\,dt=t\sin t-\int\sin t\,dt=t\sin t+\cos t$이므로,$\displaystyle l=-3\pi-2\left\{\Biggl[t\sin t+\cos t\Biggr]_0^{3\pi/2}-\Biggl[t\sin t+\cos t\Biggr]_{3\pi/2}^{5\pi/2}\right\}=8\pi+2$이다.