의예과 3번

$\displaystyle 1\leq n\leq500$이므로, $\displaystyle \frac{n+100}{100}$의 최댓값은 $\displaystyle n=500$일 때 $\displaystyle \frac{500+100}{100}=6$이고, 제시문 (ㅁ)에 의해 $\displaystyle 6<2\pi$이다. $\displaystyle n\geq314$이면 $\displaystyle \sin\left(\frac{n+1}{100}\right),\sin\left(\frac{n+2}{100}\right),\cdots,\sin\left(\frac{n+100}{100}\right)$은 모두 음수이므로 $\displaystyle a$가 음수가 되어 최댓값이 될 수 없다. 어떤 자연수 $\displaystyle k\;(1\leq k\leq313)$에 대하여 $\displaystyle n=k$일 때의 $\displaystyle a$의 값을 $\displaystyle p$, $\displaystyle n=k+1$일 때의 $\displaystyle a$의 값을 $\displaystyle q$라 하면 $\displaystyle q-p=\sin\left(\frac{k+101}{100}\right)-\sin\left(\frac{k+1}{100}\right)$이다.

$\displaystyle q-p$는 $\displaystyle \left|\frac{k+101}{100}-\frac\pi2\right|<\left|\frac{k+1}{100}-\frac\pi2\right|$이면 양수이고 $\displaystyle \left|\frac{k+101}{100}-\frac\pi2\right|>\left|\frac{k+1}{100}-\frac\pi2\right|$이면 음수가 되므로, $\displaystyle 1\leq k\leq106$이면 양수이고 $\displaystyle 107\leq k\leq313$이면 음수이다. 따라서 $\displaystyle k=107$일 때 최초로 $\displaystyle q-p$가 음수가 되고 $\displaystyle a$의 값이 최대가 되며 $\displaystyle m=107$이다.

$\displaystyle m=107$이므로 제시문 (ㄷ)의 $\displaystyle b$는 $\displaystyle b=\cos(1.08)+\cos(1.09)+\cdots+\cos(2.07)$이고, $\displaystyle 1.570\leq\frac\pi2\leq1.571$이므로 $\displaystyle \cos(1.08),\cos(1.09),\cdots,\cos(1.57)$은 양수, $\displaystyle \cos(1.58),\cos(1.59),\cdots,\cos(2.07)$은 음수이다.(1) 삼각함수의 성질에 의하여 다음이 성립한다.$\displaystyle \left|1.57-\frac\pi2\right|<\left|1.58-\frac\pi2\right|\quad\Rightarrow\quad\cos(1.57)+\cos(1.58)<0$$\displaystyle \left|1.56-\frac\pi2\right|<\left|1.59-\frac\pi2\right|\quad\Rightarrow\quad\cos(1.56)+\cos(1.59)<0$$\displaystyle \vdots$$\displaystyle \left|1.08-\frac\pi2\right|<\left|2.07-\frac\pi2\right|\quad\Rightarrow\quad\cos(1.08)+\cos(2.07)<0$따라서,$\displaystyle b=(\cos(1.57)+\cos(1.58))+\cdots+(\cos(1.08)+\cos(2.07))<0$이다.

(2) 비슷한 방법으로 $\displaystyle 1.56$과 $\displaystyle 1.58$부터 비교하면,$\displaystyle \left|1.56-\frac\pi2\right|>\left|1.58-\frac\pi2\right|\quad\Rightarrow\quad\cos(1.56)+\cos(1.58)>0$$\displaystyle \left|1.55-\frac\pi2\right|>\left|1.59-\frac\pi2\right|\quad\Rightarrow\quad\cos(1.55)+\cos(1.59)>0$$\displaystyle \vdots$$\displaystyle \left|1.08-\frac\pi2\right|>\left|2.06-\frac\pi2\right|\quad\Rightarrow\quad\cos(1.08)+\cos(2.06)>0$이고, $\displaystyle 2.07=\frac{207}{100}=\frac{621}{300}<\frac23\pi$이므로 $\displaystyle \cos(2.07)>\cos\left(\frac23\pi\right)=-0.5$이고, 따라서,$\displaystyle b=\cos(1.57)+(\cos(1.56)+\cos(1.58))+\cdots+(\cos(1.08)+\cos(2.06))+\cos(2.07)>-0.5$이다.따라서, (1)과 (2)에 의하여 $\displaystyle 2b$는 $\displaystyle -1<2b<0$을 만족하고, $\displaystyle k\leq-1$이면 $\displaystyle 2b-k>0$이고 $\displaystyle k\geq0$이면 $\displaystyle 2b-k<0$이므로 집합 $\displaystyle A$는 모든 음의 정수의 집합이고 $\displaystyle A$의 가장 큰 원소는 $\displaystyle -1$이다.