자연계열 3번

수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 일반항은 $\displaystyle a_n=a+b(n-1)$이다.$\displaystyle a_k+a_m=2a+b(k+m-2)=0$이므로,$\displaystyle b=-\frac{2a}{l}$(단, $\displaystyle l$은 자연수)의 형태가 되어야 순서쌍이 존재한다.

이제, $\displaystyle k+m=l+2$를 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle (k,m)$의 개수를 확인하여 제시문 (ㄱ)의 조건을 만족시키는 가장 큰 $\displaystyle l$ 값을 구하면 충분하다.그런데, $\displaystyle l>4$이면 순서쌍 $\displaystyle (k,m)$은 $\displaystyle (1,l+1),\;(2,l),\;(3,l-1)$의 최소 세 개가 존재하고,$\displaystyle l=4$이면, $\displaystyle (1,5),\;(2,4)$의 두 개의 순서쌍만 존재하므로제시문 (ㄱ)의 조건을 만족시키는 $\displaystyle b$의 최댓값은 $\displaystyle -\frac a2$이다.즉, $\displaystyle d=-\frac a2$이다.

$\displaystyle d=-\frac a2$이므로 $\displaystyle b_n=a-\frac a2(n-1)=\frac a2(3-n)$이다.$\displaystyle k\leq3$이면, $\displaystyle |b_k|=\frac a2(3-k)$이고,$\displaystyle k\geq3$이면 $\displaystyle |b_k|=\frac a2(k-3)$이므로,$\displaystyle S=\sqrt{\frac2a}\left(\sum_{k=1}^2\frac1{\sqrt{3-k}+\sqrt{2-k}}+\sum_{k=3}^{50}\frac1{\sqrt{k-3}+\sqrt{k-2}}\right)$라고 쓸 수 있다.Correction. 원래 합의 마지막 항은 $\displaystyle k=52$이므로 두 번째 합의 상한 $\displaystyle 50$은 $\displaystyle 52$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \sum_{k=1}^2\frac1{\sqrt{3-k}+\sqrt{2-k}}=\frac1{\sqrt2+1}+1=\sqrt2$이고,$\displaystyle \sum_{k=3}^{52}\frac1{\sqrt{k-3}+\sqrt{k-2}}=\sum_{k=3}^{52}(\sqrt{k-2}-\sqrt{k-3})=5\sqrt2$이므로,$\displaystyle S=\frac{12}{\sqrt a}$이다.

$\displaystyle S=3$이므로 $\displaystyle a=16$이다.