의예과 4번

$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 연속이다. $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x<0$에서 기울기가 $\displaystyle -(a+4)^2$인 직선이므로 닫힌구간 $\displaystyle [-k,0]$에서 $\displaystyle f(-k)$가 최대이다. 한편, 함수 $\displaystyle y=x^3-ax^2-a^2x+4a+2a^2$는 $\displaystyle x^3$의 계수가 양수이고, $\displaystyle x=a$ 및 $\displaystyle x=-\frac a3$에서 극값을 가진다. 그러므로 $\displaystyle x\geq0$에서 $\displaystyle f(x)$의 함숫값은 $\displaystyle a=0$인 경우에는 증가하고 $\displaystyle a\ne0$인 경우에는 감소하다가 증가한다. 즉, 닫힌구간 $\displaystyle [0,k]$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle f(0)$과 $\displaystyle f(k)$ 중 하나이다. 따라서 닫힌구간 $\displaystyle [-k,k]$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle f(-k)$와 $\displaystyle f(k)$ 중 하나이다.이때 $\displaystyle f(-k)=(2+k)a^2+(8k+4)a+16k$를 $\displaystyle g_1(a)$, $\displaystyle f(k)=(2-k)a^2+(4-k^2)a+k^3$을 $\displaystyle g_2(a)$라고 하면, $\displaystyle g(a)=\begin{cases}g_1(a)&(g_1(a)\geq g_2(a))\\g_2(a)&(g_1(a)<g_2(a))\end{cases}$이다.

함수 $\displaystyle g_1(a)$은 아래로 볼록한 이차함수이므로 꼭짓점 $\displaystyle (v,g_1(v))$에서 최솟값 $\displaystyle g_1(v)$를 갖는다.한편 $\displaystyle g_1(a)-g_2(a)=2ka^2+(k^2+8k)a+16k-k^3$은 $\displaystyle a^2$의 계수가 양수인 이차함수이다.(1) $\displaystyle g_1(a)-g_2(a)=0$인 $\displaystyle a$가 없거나 중근을 가질 경우의 $\displaystyle k$에 대하여 모든 실수 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle g_1(a)-g_2(a)\geq0$이므로 $\displaystyle g(a)=g_1(a)$가 되어 $\displaystyle g_1(v)=m$이고, 이러한 $\displaystyle a$는 $\displaystyle v$뿐이다. 따라서 $\displaystyle k\in A$이다.

(2) 이차방정식 $\displaystyle g_1(a)-g_2(a)=0$가 서로 다른 두 근 $\displaystyle \alpha,\beta\;(\alpha<\beta)$를 가지게 하는 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle g(a)=\begin{cases}g_1(a)&(a<\alpha,\;a>\beta)\\g_2(a)&(\alpha\leq a\leq\beta)\end{cases}$이다.$\displaystyle g(a)\geq g_1(a)$이므로, $\displaystyle v<\alpha$이거나 $\displaystyle v>\beta$인 경우에는 $\displaystyle g(a)$가 $\displaystyle v$에서 유일한 최솟값을 가지게 되어 $\displaystyle k\in A$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha<v<\beta$인 경우만 확인하면 되고, 이때 함수 $\displaystyle g(a)$는 $\displaystyle a<\alpha$에서 감소하고 $\displaystyle a>\beta$에서 증가하므로 $\displaystyle g(a)=m$을 만족하는 $\displaystyle a$는 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$ 안에서만 존재한다.함수 $\displaystyle g_2(a)$가 아래로 볼록일 경우 최솟값을 갖는 $\displaystyle a$의 값은 두 개 이상 존재할 수 없다. 따라서 $\displaystyle g_2(a)$는 위로 볼록이거나 일차함수이어야 한다.

(i) $\displaystyle g_2(a)$가 일차함수이면 $\displaystyle k=2$이고 $\displaystyle g_2(a)=8$이다. 이때 $\displaystyle \alpha=-3,\;\beta=-2$이므로 $\displaystyle -3\leq a\leq2$인 모든 $\displaystyle a$에 대하여 최솟값 $\displaystyle g_2(a)=8$을 가진다. $\displaystyle 2$는 $\displaystyle A$에 속하지 않는다.Correction. 두 교점은 $\displaystyle a=-3,-2$이므로 최솟값을 갖는 구간은 $\displaystyle -3\leq a\leq-2$이다. 원문 구간의 오른쪽 끝점 $\displaystyle 2$에는 음의 부호가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(ii) $\displaystyle g_2(a)$가 위로 볼록인 경우 $\displaystyle g_2(\alpha)=g_2(\beta)$일 때만 $\displaystyle g(a)=m$인 $\displaystyle a$의 값을 $\displaystyle \alpha,\beta$로 두 개 이상 가질 수 있고, 이때 $\displaystyle g_1(\alpha)=g_1(\beta)$이기도 하므로 두 함수 $\displaystyle g_1(a)$와 $\displaystyle g_2(a)$는 $\displaystyle v$에서 극솟값을 갖는다. $\displaystyle g_2^{\prime}(a)=2(2-k)a+4-k^2$에서 $\displaystyle g_2^{\prime}(v)=0$이므로 $\displaystyle v=-\frac{2+k}{2}$이고,Correction. 이 경우 $\displaystyle g_1$은 아래로 볼록하고 $\displaystyle g_2$는 위로 볼록하므로, 공통 축 $\displaystyle a=v$에서 $\displaystyle g_1$은 극솟값을, $\displaystyle g_2$는 극댓값을 갖는다. 두 함수가 모두 극솟값을 갖는다는 서술은 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle g_1^{\prime}(v)=2(2+k)v+(8k+4)$에서 $\displaystyle -(2+k)^2+(8k+4)=0$, 즉 $\displaystyle k(k-4)=0$이고 $\displaystyle k=4$이다. 이때 $\displaystyle \alpha=-6,\;\beta=0$에서 최솟값 $\displaystyle 64$를 가지므로 $\displaystyle 4$는 $\displaystyle A$에 속하지 않는다.따라서 (1), (2)(i), (2)(ii)에 의해 $\displaystyle A$에 속하지 않는 양수 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 2$와 $\displaystyle 4$이다.